Модифицированное Z-преобразование

Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как:

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(kT+m)z^{-k}$

где

• T — период дискретизации
• m («параметр смещения») — часть периода дискретизации $[0,T).$

Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.

Свойства

Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.

Линейность

$Z[\sum _{k=1}^n{c}_k{f}_k(t)]=\sum _{k=1}^n{c}_{k}F(z,m).$

Сдвиг по времени

$Z[u(t-nT)f(t-nT)]=z^{-n}F(z,m).$

Ослабление

$Z[f(t)e^{-at}]=e^{-am}F(e^{aT}z,m).$

Умножение аргумента

$Z[t^{y}f(t)]={(-Tz\frac{d}{dz}+m)}^{y}F(z,m).$

Теорема о конечном значении

$\underset{k=\mathrm{\infty }}{\lim }f(kT+m)=\underset{k=1+}{\lim }F(z,m).$

Таблица основных преобразований

f(t)	F(z, m)
1(t)	$\frac{z}{z-1}$
t	$\frac{zmT}{z-1}+\frac{zT}{(z-1{)}^2}$
e-at	$\frac{z{e}^{-amT}}{z-e^{-aT}}$
1 — e-at	$\frac{z}{z-1}-\frac{z{e}^{-amT}}{z-e^{-aT}}$
sin ωt	$\frac{z^2\sin (m\omega T)+z\sin [(1-m)\omega T]}{z^2-2z\cos \omega T+1}$

Пример

Пусть оригинал для преобразования $f(t)=\cos (\omega t)$. Тогда:

$F(z,m)=Z[\cos \left(\omega (kT+m)\right)]$

$F(z,m)=Z[\cos (\omega kT)\cos (\omega m)-\sin (\omega kT)\sin (\omega m)]$

$F(z,m)=\cos (\omega m)Z[\cos (\omega kT)]-\sin (\omega m)Z[\sin (\omega kT)]$

$F(z,m)=\cos (\omega m)\frac{z(z-\cos (\omega T))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}-\sin (\omega m)\frac{z\sin (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}$

$F(z,m)=\frac{z^2\cos (\omega m)-z\cos (\omega (T-m))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}.$

Если $m=0$, то $F(z,m)$ совпадает с Z-преобразованием:

$F(z,0)=\frac{z^2-z\cos (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1}$