Неравенство Карлемана

Нера́венство Ка́рлемана — математическое неравенство, названное в честь шведского математика Торстена Карлемана, который в 1923 году опубликовал и доказал данное неравенство. Неравенство Карлемана можно рассматривать как вариацию классического неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Карлеман использовал это неравенство, чтобы доказать теорему Данжуа — Карлемана о квазианалитических функциях.

Формулировка

Шаблон:Рамка Пусть $\{a_1,a_2,a_3\dots \}$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел. Тогда имеет место неравенство:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{a_1{a}_2\dots a_n}⩽e\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

|}

Коэффициент е (число Эйлера) в неравенстве является оптимальным, то есть неравенство не всегда выполняется, если е заменить на меньшее число. Неравенство становится строгим (со знаком «меньше», а не «меньше или равно»), если хотя бы одно $a_n$ не равно нулюШаблон:Sfn.

Интегральная версия

У неравенства Карлемана существует интегральная версия, пригодная для любой неотрицательной функции $f(x)$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp \{\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\ln f(t)dt\}dx⩽e\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

|}

Неравенство Карлесона

В 1954 году Леннарт Карлесон предложил обобщение интегрального неравенства Карлемана: Шаблон:Рамка Пусть $g(x)$ — выпуклая функция, причём $g(0)=0.$ Тогда для любого числа $p>-1$ имеет место неравенство:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^p{e}^{-g(x)/x}dx⩽e^{p+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^p{e}^{-g^{\prime }(x)}dx.$

|} Неравенство Карлемана получается из неравенства Карлесона при $p=0.$

Доказательство

Элементарное доказательство в общих чертах описано ниже. Применим классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к последовательности $1\cdot a_1,2\cdot a_2,3\cdot a_3\dots$:

$M_{geom}(a_1,\dots ,a_n)=M_{geom}(1a_1,2a_2,\dots ,n{a}_n)(n!{)}^{-1/n}⩽M_{arithm}(1a_1,2a_2,\dots ,n{a}_n)(n!{)}^{-1/n}$

где $M_{geom}$ означает среднее геометрическое, а $M_{arithm}$ — среднее арифметическое. Далее выпишем неравенство, полученное из формулы Стирлинга:

$n!⩾\sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{-n}$

или, заменив $n$ на $n+1$:

$(n!{)}^{-1/n}⩽\frac{e}{n+1}$ для любого $n⩾1.$

Отсюда:

$M_{geom}(a_1,\dots ,a_n)⩽\frac{e}{n(n+1)}\sum _{1\le k\le n}k{a}_k,$

или:

$\sum _{n⩾1}{M}_{geom}(a_1,\dots ,a_n)⩽e\sum _{k⩾1}\left(\sum _{n⩾k}\frac{1}{n(n+1)}\right)k{a}_k=e\sum _{k⩾1}{a}_k,$

что завершает доказательство.

Можно также вывести неравенство Карлемана из неравенства Харди:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^p\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p$

для неотрицательных чисел $a_n$ и $p>1$; для этого надо заменить $a_n$ на $a_n^{1/p}$ и устремить $p$ к бесконечности.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:КнигаCS1 maint: Extra text: authors list (link) Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Springer