Операда

Операда даёт общий подход к описанию таких свойств, как коммутативность или антикоммутативность, а также различные вариации ассоциативности. Отношение алгебры и операды похожи на отношение представлений групп и групп.

Определение

Операда (клон полилинейных операций) — семейство множеств $\{R_n,n⩾1\}$ с левым действием симметрических групп $S_n$ на соответствующих $R_n$ и с операциями композиции:

$R_{n_1}\times \dots \times R_{n_m}\times R_m\to R_{n_1+\dots +n_m}:(r_1,\dots ,r_m,r)\to r_1\dots r_{m}r,$

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

$(r_{11}{r}_{21}\dots r_{k_{1}1}{r}_1)\dots (r_{1m}{r}_{2m}\dots r_{k_{m}m}{r}_m)r=(r_{11}{r}_{21}\dots r_{k_{1}1}\dots r_{1m}{r}_{2m}\dots r_{k_{m}m})(r_1\dots r_{m}r)$

и наличию единицы $\epsilon \in R_1:(\epsilon \dots \epsilon )r=r,r\epsilon =r$.

Операда называется линейной, если $R_n$ являются пространствами, действия симметрических групп $S_n$ являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство $A$ c полилинейными операциями композиции:

$A^{\otimes n}{\otimes }_{S_n}{R}_n\to A:a_1\otimes \dots \otimes a_n\otimes r\to a_1\dots a_{n}r$

со свойствами унитарности $a\epsilon =a$ и обобщённой ассоциативности:

$(a_{11}{a}_{21}\dots a_{k_{1}1}{r}_1)\dots (a_{1m}{a}_{2m}\dots a_{k_{m}m}{r}_m)r=(a_{11}{a}_{21}\dots a_{k_{1}1}\dots a_{1m}{a}_{2m}\dots a_{k_{m}m})(r_1\dots r_{m}r).$

Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

• Простейшей операдой является ассоциативное кольцо $R$ с единицей: $R_1=R,R_{>1}=\{0\}$. Алгебра над ней — это правый $R$-модуль.
• Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами $\{k(S_n),n⩾1\}$, а также и на $\{k(G^n),n⩾1\}$, где $G$ — моноид.

История

Алгебры над операдами, без явного определения этих понятий, были впервые по существу использованы американским математиком Шаблон:Не переведено в статье 1963 года. Композиционные комплексы были введены американским математиком Мюрреем Герстенхабером в статье 1968 года. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года. Немного позднее родственное понятие операд и алгебр над ними было открыто американским топологом Дж. Питером Мэем. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Питера Мэя. Примерно в то же самое время американский тополог Майкл Бордман и немецкий тополог Райнер Фогт написали труд, считающийся классическим в теории операд, используя вместо этого названия ПРОПы Маклейна и алгебраические теории Ловера.

Литература

• Stasheff J. D. Homotopy Associativity of H-Spaces. I // Transactions of the American Mathematical Society. — 1963. — vol. 108. — No. 2. — pp. 275—292.
• Gerstenhaber M. On the deformations of rings and algebras:III // Annals of Mathematics, Second Series. — 1968. — vol. 88. — No. 1. — pp. 1—34.
• Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры // УМН. — 1969. — т. 24. — № 1. — с. 47—59.
• May J. P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 271. — Berlin: Springer-Verlag, 1972. — 175 p.
• Boardman J. M.; Vogt R. M. Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 347. — Berlin: Springer-Verlag, 1973.