Производная Лагранжа

Производная Лагранжа, также известная как субстанциональная производная или материальная производная, — это производная, взятая в зависимости от системы координат, движущейся со скоростью u и часто используемая в гидроаэромеханике и классической механике. Она определена как от скалярной функции $\varphi (\overrightarrow{r},t)$ координат и времени, так и от векторной $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r},t)$:

$\frac{D\varphi }{Dt}=\frac{\partial \varphi }{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\varphi$

$\frac{D𝐯}{Dt}=\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐯$

где $\mathrm{\nabla }$ — это оператор набла, а $\frac{\partial }{\partial t}$ обозначает частную производную по t. Второе слагаемое есть конвективная производная данной функции.

Верно следующее тождество, когда берётся производная Лагранжа от интеграла:

$\frac{D}{Dt}\underset{V(t)}{\int }f(𝐱)dV=\underset{V(t)}{\int }(\frac{\partial f}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐮))dV=\underset{V(t)}{\int }(\frac{Df}{Dt}+f(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮))dV$

Доказательство

Доказательство через правило дифференцирования сложных функций для частных производных. В тензорной нотации (с соглашением суммирования Эйнштейна) можно записать:

${\left[\frac{d𝐁}{dt}\right]}_j=\frac{d}{dt}\widehat{B_j}(t,x_i(t))=\frac{\partial B_j}{\partial t}+\frac{\partial B_j}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t}=\frac{\partial B_j}{\partial t}+\frac{\partial x_i}{\partial t}\frac{\partial }{\partial x_i}{B}_j=\frac{\partial B_j}{\partial t}+{[(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐁]}_j$

См. также

• Конвективная производная