Производящая функция моментов

Шаблон:Другие значения Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Определение

Пусть есть случайная величина $X$ с распределением ${\mathbb{P}}^X$. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:

$M_X(t)=𝔼\left[e^{tX}\right]$.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}{\mathbb{P}}^X(dx)$,

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа плотности распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть $\mathbb{P}(X=x_i)=p_i,i=1,2,\dots$, то

$M_X(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{t{x}_i}{p}_i$.

Пример. Пусть $X$ имеет распределение Бернулли. Тогда

$M_X(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=p{e}^t+q$.

Если случайная величина $X$ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность $f_X(x)$, то

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}{f}_X(x)dx$.

Пример. Пусть $X\sim U[0,1]$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

$M_X(t)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{tx}\cdot 1dx={\frac{e^{tx}}{t}|}_0^1=\frac{e^t-1}{t}$.

Свойства производящих функций моментов

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

• Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть $X,Y$ суть две случайные величины, и $M_X(t)=M_Y(t),\mathrm{\forall }t$. Тогда ${\mathbb{P}}^X={\mathbb{P}}^Y$. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
• Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:

$M_{aX}(t)=M_X(at),\mathrm{\forall }a\in ℝ$.

• Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть $X_1,\dots ,X_n$ есть независимые случайные величины. Обозначим $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$. Тогда

$M_{S_n}(t)=\prod _{i=1}^n{M}_{X_i}(t)$.

Вычисление моментов

$𝔼\left[X^n\right]={\frac{d^n}{d{t}^n}{M}_X(t)|}_{t=0}$.

См. также

• Моменты случайной величины
• Характеристическая функция случайной величины