Сегмент (геометрия)

Четыре сегмента плоской кривой.

Сегмент плоской кривой — плоская (обычно выпуклая) фигура, заключённая между кривой и её хордой.

Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент круга.

Характеристики

Основные характеристики сегмента кривой — его ширина, высота, площадь и длина границы.

Сегмент круга

Сегмент круга закрашен зелёным цветом.

Шаблон:Main Длина хорды $c$ сегмента круга радиуса $R$ и высоты $h$ вычисляется по теореме Пифагора:

$c=2\sqrt{R^2-(R-h{)}^2}=2\sqrt{2Rh-h^2}$

Площадь $S$ сегмента круга радиуса $R,$ опирающегося на центральный угол $\theta$ (в радианах)Шаблон:Sfn:

$S=\frac{1}{2}{R}^2(\theta -\sin \theta )$

Сегмент параболы

Площадь сегмента параболы

Архимед в III веке Шаблон:Донэ доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Сегмент эллипса

Файл:Segment of ellipse.png

Сегмент эллипса (выделен зелёным цветом)

Шаблон:Main Пусть эллипс задан каноническим уравнением:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точку с абсциссой $x,$ можно определить по формуле:

$S=\frac{\pi ab}{2}-\frac{b}{a}(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin \frac{x}{a}).$

Другие виды плоских сегментов

Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов интегрального исчисления, которое исторически было создано именно для этой цели.

Площадь

Файл:Curve segment-1.png

Вычисление площади сегмента кривой

Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве оси абсцисс. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой $y=f(x)$, пересекающей ось абсцисс в точках a и b, равна:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Например, площадь под первой аркой синусоиды вычисляется как интеграл:

$S=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx=-\cos (\pi )+\cos (0)=2$

Другой пример: площадь сегмента (арки) циклоиды, порождённой кругом радиуса $R,$ равна $3\pi R^2,$ то есть втрое больше площади порождающего круга.

Длина дуги

Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента, вычисляется по формуле

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)}^2}dx$

Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют численное интегрирование.

Литература

• Шаблон:Книга