Сегмент круга

Сегмент круга закрашен зелёным цветом

Сегме́нт кру́га, кругово́й сегмент — часть круга, ограниченная дугой окружности и её хордой или секущей.

Соотношения

Пусть $R$ — радиус круга, $c$ — длина хорды сегмента, $s$ — длина дуги сегмента, $h$ — высота сегмента, также называемая стрелкой сегмента, $\theta$ — угол дуги сегмента выраженный в радианах. Размер сегмента круга однозначно задаётся любой парой этих величин и любая величина выражается через любую другую пару. Тогда:

$R=\frac{s}{\theta }=\frac{h}{1-\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{d}{\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{c}{2\sin \frac{\theta }{2}}=h+d=\frac{c^2+4h^2}{8h}=\frac{1}{2}\sqrt{4d^2+c^2};$

$s=\theta \cdot R=2R\arccos (1-\frac{h}{R})=2R\arccos \frac{d}{R}=2R\arcsin \frac{c}{2R}=$

$=\frac{\theta }{h}1-\cos \frac{\theta }{2}=\frac{\theta d}{\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{\theta c}{2\sin \frac{\theta }{2}}=$

$=2(h+d)\arccos \frac{d}{h+d}=\frac{c^2+4h^2}{4h}\arcsin \frac{4hc}{c^2+4h^2}=$

$=\sqrt{4d^2+c^2}\arcsin \frac{c}{\sqrt{4d^2+c^2}};$

$c=2R\sin \frac{\theta }{2}=R\sqrt{2-2\cos \theta }=2\sqrt{h(2R-h)};$

$h=R(1-\cos \frac{\theta }{2})=R-\sqrt{R^2-\frac{c^2}{4}};$

$\theta =2\arccos \frac{d}{R}=\frac{s}{R}=2\arccos \frac{R-h}{R}=2\arcsin \frac{c}{2R}.$

Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле:

$S=\frac{1}{2}{R}^2(\theta -\sin \theta )=\frac{1}{2}{R}^2(\frac{s}{R}-\sin \frac{s}{R}).$

См. также

• Сектор круга
• Шаровой сегмент
• Шаровой слой
• Коническое сечение
• Дуга окружности
• Разрез