Список квадратурных формул

В данной статье приведен список различных квадратурных формул для численного интегрирования.

Обозначения

В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:

$\underset{{\mathrm{\Omega }}_x}{\int }f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_g}\widetilde{w_i}f(x_i)=\sum _{i=1}^{m_g}{w}_i\mathrm{|}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(J({\xi }_i))|f(x({\xi }_i))$,

• $f(x)$ — интегрируемая функция;
• $w_i$ — веса интегрирования;
• $\xi$ — система координат мастер-элемента;
• $J(\xi )=\frac{\partial (x_1,\dots ,x_n)}{\partial ({\xi }_1,\dots {\xi }_n)}$ — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.

В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования $\mathrm{\Omega }$ будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.

В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные $x,y,z$, для обозначения координат мастер-элемента — $\xi ,\eta ,\zeta$.

Одномерный интеграл

Численное интегрирование на мастер-элементе функции $x^5+6x^2+1$ методом гаусса-3

Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.

• Область интегрирования: отрезок $[x_0,x_1]$;
• Мастер-элемент: отрезок $[-1,1]$;
• Переход на мастер-элемент: $\xi (x)=2\frac{x-x_0}{x_1-x_0}-1$;
• Переход с мастер-элемента: $x(\xi )=\frac{(x_1-x_0)(\xi +1)}{2}+x_0$;
• Якобиан: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(J(\xi ))=\frac{x_1-x_0}{2}$.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$w$	Дополнительно
1	1	1	$0$	$2$	Метод прямоугольников
2	2	1	$-1$	$1$	Метод трапеций
			$1$	$1$
3	2	3	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	Метод Гаусса-2
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
4	3	3	$-1$	$\frac{1}{3}$	Метод Симпсона
			$0$	$\frac{4}{3}$
			$1$	$\frac{1}{3}$
5	3	5	$-\sqrt{\frac{3}{5}}$	$\frac{5}{9}$	Метод Гаусса-3
			$0$	$\frac{8}{9}$
			$\sqrt{\frac{3}{5}}$	$\frac{5}{9}$
6	4	7	$-\sqrt{\frac{3}{7}-\frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\frac{18+\sqrt{30}}{36}$	Метод Гаусса-4
			$\sqrt{\frac{3}{7}-\frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\frac{18+\sqrt{30}}{36}$
			$-\sqrt{\frac{3}{7}+\frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\frac{18-\sqrt{30}}{36}$
			$\sqrt{\frac{3}{7}+\frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\frac{18-\sqrt{30}}{36}$
7	5	9	$0$	$\frac{128}{225}$	Метод Гаусса-5
			$-\frac{1}{3}\sqrt{5-2\sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$
			$\frac{1}{3}\sqrt{5-2\sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$
			$-\frac{1}{3}\sqrt{5+2\sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$
			$\frac{1}{3}\sqrt{5+2\sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$

Двухмерный интеграл

Квадратный мастер-элемент

Квадратный мастер-элемент с изображенной 12-и точечной формулой

• Область интегрирования: прямоугольник $[x_0,x_1]\times [y_0,y_1]$
• Мастер-элемент: квадрат $[-1,1]\times [-1,1]$
• Переход на мастер-элемент:

$\xi (x,y)=2\frac{x-x_0}{x_1-x_0}-1$

$\eta (x,y)=2\frac{y-y_0}{y_1-y_0}-1$;

• Переход с мастер-элемента:

$x(\xi ,\eta )=\frac{(x_1-x_0)(\xi +1)}{2}+x_0$

$y(\xi ,\eta )=\frac{(y_1-y_0)(\eta +1)}{2}+y_0$;

• Якобиан: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(J(\xi ,\eta ))=\frac{(x_1-x_0)(y_1-y_0)}{4}$.

Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёхугольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$\eta$	$w$	Дополнительно
1	1	1	$0$	$0$	$4$	Метод прямоугольников (метод среднего)
2	4	1	$-1$	$-1$	$1$	Метод трапеций
			$-1$	$1$	$1$
			$1$	$-1$	$1$
			$1$	$1$	$1$
3	4	3	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	Метод Гаусса-2
			$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
4	12	7	$-c$	$0$	$w_c$	$a=\sqrt{\frac{114-3\sqrt{583}}{287}}$ $b=\sqrt{\frac{114+3\sqrt{583}}{287}}$ $c=\sqrt{\frac{6}{7}}$ $w_a=\frac{307}{810}+\frac{923}{270\sqrt{583}}$ $w_b=\frac{307}{810}-\frac{923}{270\sqrt{583}}$ $w_c=\frac{98}{405}$ Число узлов минимальноШаблон:Sfn.
			$c$	$0$	$w_c$
			$0$	$-c$	$w_c$
			$0$	$c$	$w_c$
			$-a$	$-a$	$w_a$
			$a$	$-a$	$w_a$
			$-a$	$a$	$w_a$
			$a$	$a$	$w_a$
			$-b$	$-b$	$w_b$
			$b$	$-b$	$w_b$
			$-b$	$b$	$w_b$
			$b$	$b$	$w_b$

Треугольный мастер-элемент

Треугольный мастер-элемент, с точками Гаусса-4

• Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$;
• Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами $(0,0),(1,0),(0,1)$.

Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$.

${\lambda }_i(x,y)={\alpha }_{i1}x+{\alpha }_{i2}y+{\alpha }_{i3}$

Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица $D$:

$D=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Матрица коэффициентов обратна к $D$: $\mathrm{A}=D^{-1}$.

• Переход на мастер элемент:

$\xi (x,y)={\lambda }_1(x,y)$

$\eta (x,y)={\lambda }_2(x,y)$

• Переход с мастер элемента:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=D\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ 1-\xi -\eta \end{array}\right)$

• Якобиан : $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(J(\xi ,\eta ))=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(D)$.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$\eta$	$w$	Дополнительно
1	1	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	Метод среднего
2	3	2	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{6}$	-
			$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
			$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
2	3	2	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	Метод Гаусса-3
			$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
			$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$
4	4	3	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$-\frac{9}{32}$	Метод Гаусса-4
			$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{25}{96}$
			$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{25}{96}$
			$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{25}{96}$
5	7	3	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{9}{40}$	Метод Ньютона-Котеса (Шаблон:Lang-enШаблон:Ref-en)
			$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{15}$
			$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{15}$
			$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{15}$
			$1$	$0$	$\frac{1}{40}$
			$0$	$1$	$\frac{1}{40}$
			$0$	$0$	$\frac{1}{40}$

Трёхмерный интеграл

Кубический мастер-элемент

Кубический мастер-элемент, с изображенной 14-и точечной формулой

• Область интегрирования: параллелепипед $[x_0,x_1]\times [y_0,y_1]\times [z_0,z_1]$
• Мастер-элемент: куб $[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$
• Переход на мастер-элемент:

$\xi (x,y,z)=2\frac{x-x_0}{x_1-x_0}-1$

$\eta (x,y,z)=2\frac{y-y_0}{y_1-y_0}-1$

$\zeta (x,y,z)=2\frac{z-z_0}{z_1-z_0}-1$

• Переход с мастер-элемента:

$x(\xi ,\eta ,\zeta )=\frac{(x_1-x_0)(\xi +1)}{2}+x_0$

$y(\xi ,\eta ,\zeta )=\frac{(y_1-y_0)(\eta +1)}{2}+y_0$;

$z(\xi ,\eta ,\zeta )=\frac{(z_1-z_0)(\zeta +1)}{2}+z_0$;

• Якобиан: $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\frac{(x_1-x_0)(y_1-y_0)(z_1-z_0)}{8}$.

Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент Шаблон:Уточнить2, но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Дополнительно
1	1	1	$0$	$0$	$0$	$8$	Метод прямоугольников (метод среднего)
2	8	3	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	Метод Гаусса-2
			$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
3	14	5	$-\sqrt{\frac{19}{30}}$	$0$	$0$	$\frac{320}{361}$	Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.Шаблон:Sfn
			$\sqrt{\frac{19}{30}}$	$0$	$0$	$\frac{320}{361}$
			$0$	$-\sqrt{\frac{19}{30}}$	$0$	$\frac{320}{361}$
			$0$	$\sqrt{\frac{19}{30}}$	$0$	$\frac{320}{361}$
			$0$	$0$	$-\sqrt{\frac{19}{30}}$	$\frac{320}{361}$
			$0$	$0$	$\sqrt{\frac{19}{30}}$	$\frac{320}{361}$
			$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$-\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$

Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.

• Порядок: 7, число точек: 34

Номер точки	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Дополнительно
1	$a$	$0$	$0$	$w_1$	$a=\sqrt{\frac{6}{7}}$, $b=\sqrt{\frac{960-33\sqrt{238}}{2726}}$, $c=\sqrt{\frac{960+33\sqrt{238}}{2726}}$, $w_1=\frac{1078}{3645}$, $w_2=\frac{343}{3645}$, $w_3=\frac{43}{135}+\frac{829\sqrt{238}}{136323}$, $w_4=\frac{43}{135}-\frac{829\sqrt{238}}{136323}$
2	$-a$	$0$	$0$	$w_1$
3	$0$	$a$	$0$	$w_1$
4	$0$	$-a$	$0$	$w_1$
5	$0$	$0$	$a$	$w_1$
6	$0$	$0$	$-a$	$w_1$
7	$a$	$a$	$0$	$w_2$
8	$a$	$-a$	$0$	$w_2$
9	$-a$	$a$	$0$	$w_2$
10	$-a$	$-a$	$0$	$w_2$
11	$a$	$0$	$a$	$w_2$
12	$a$	$0$	$-a$	$w_2$
13	$-a$	$0$	$a$	$w_2$
14	$-a$	$0$	$-a$	$w_2$
15	$0$	$a$	$a$	$w_2$
16	$0$	$a$	$-a$	$w_2$
17	$0$	$-a$	$a$	$w_2$
18	$0$	$-a$	$-a$	$w_2$
19	$b$	$b$	$b$	$w_3$
20	$b$	$b$	$-b$	$w_3$
21	$b$	$-b$	$b$	$w_3$
22	$b$	$-b$	$-b$	$w_3$
23	$-b$	$b$	$b$	$w_3$
24	$-b$	$b$	$-b$	$w_3$
25	$-b$	$-b$	$b$	$w_3$
26	$-b$	$-b$	$-b$	$w_3$
27	$c$	$c$	$c$	$w_4$
28	$c$	$c$	$-c$	$w_4$
29	$c$	$-c$	$c$	$w_4$
30	$c$	$-c$	$-c$	$w_4$
31	$-c$	$c$	$c$	$w_4$
32	$-c$	$c$	$-c$	$w_4$
33	$-c$	$-c$	$c$	$w_4$
34	$-c$	$-c$	$-c$	$w_4$

Тетраэдральный мастер-элемент

Тетраэдральный мастер-элемент с точками Гаусса-11

• Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,y_3),(x_4,y_4,z_4)$.
• Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.

Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$:

${\lambda }_i(x,y,z)={\alpha }_{i1}x+{\alpha }_{i2}y+{\alpha }_{i3}z+{\alpha }_{i4}$

Матрица коэффициентов определяется, как: $\mathrm{A}=D^{-1}$, где

$D=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ y_1& y_2& y_3& y_4\\ z_1& z_2& z_3& z_4\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$

• Переход на мастер-элемент:

$\xi (x,y,z)={\lambda }_1(x,y,z)$

$\eta (x,y,z)={\lambda }_2(x,y,z)$

$\zeta (x,y,z)={\lambda }_3(x,y,z)$

• Переход с мастер-элемента:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=D\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \\ 1-\xi -\eta -\zeta \end{array}\right)$

• Якобиан : $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(D)$.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Дополнительно
1	1	1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	Метод среднего
2	4	2	$\frac{5+3\sqrt{5}}{20}$	$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{1}{24}$	Метод Гаусса-4
			$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{5+3\sqrt{5}}{20}$	$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{1}{24}$
			$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{5+3\sqrt{5}}{20}$	$\frac{1}{24}$
			$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{5-\sqrt{5}}{20}$	$\frac{1}{24}$
3	5	3	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$-\frac{2}{15}$
			$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{3}{40}$
			$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{3}{40}$
			$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{40}$
			$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{3}{40}$
4	11	4	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$-\frac{74}{5625}$	Метод Гаусса-11
			$\frac{11}{14}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{343}{45000}$
			$\frac{5}{70}$	$\frac{11}{14}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{343}{45000}$
			$\frac{5}{70}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{11}{14}$	$\frac{343}{45000}$
			$\frac{5}{70}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{343}{45000}$
			$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1+\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{1-\sqrt{5/14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
5	14	5	$a$	$a$	$a$	$A$	$A,B,C,a,b,c$ определяются из следующих уравнений: $\{\begin{array}{c}t=\frac{4}{27}(71-4\sqrt{79}\sin \left(\frac{1}{3}[\frac{\pi }{2}+\arctan \left(\frac{27\sqrt{10815}}{67}\right)]\right))\\ a=\frac{1+\alpha }{4},b=\frac{1+\beta }{4},c=\frac{1+2\gamma }{4}\\ \gamma =\sqrt{1/t},C=t^2/7!,\alpha >0\\ A{\alpha }^2+B{\beta }^2=(1-t/21)/5!\\ A{\alpha }^3+B{\beta }^3=-2/6!\\ A{\alpha }^4+B{\beta }^4=10/7!\\ A{\alpha }^5+B{\beta }^5=-6/7!\end{array}$ $A\approx 0.01878132095300264180$ $B\approx 0.01224884051939365826$ $C\approx 0.00709100346284691107$ $a\approx 0.31088591926330060980$ $b\approx 0.09273525031089122640$ $c\approx 0.45449629587435035051$
			$1-3a$	$a$	$a$	$A$
			$a$	$1-3a$	$a$	$A$
			$a$	$a$	$1-3a$	$A$
			$b$	$b$	$b$	$B$
			$1-3b$	$b$	$b$	$B$
			$b$	$1-3b$	$b$	$B$
			$b$	$b$	$1-3b$	$B$
			$\frac{1}{2}-c$	$c$	$c$	$C$
			$c$	$\frac{1}{2}-c$	$c$	$C$
			$c$	$c$	$\frac{1}{2}-c$	$C$
			$\frac{1}{2}-c$	$\frac{1}{2}-c$	$c$	$C$
			$\frac{1}{2}-c$	$c$	$\frac{1}{2}-c$	$C$
			$c$	$\frac{1}{2}-c$	$\frac{1}{2}-c$	$C$

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web