Спрямляемое множество

Спрямляемое множество — обобщение спрямляемой кривой на высшие размерности.

Спрямляемые множества являются основным объектом исследования в геометрической теории меры. На спрямляемые множества обобщается большое число понятий определённых для гладких многообразий. В том числе объёма, касательного пространства, понятие почти всюду и т. д.

Определение

Подмножество $E$ в евклидовом пространстве ${ℝ}^n$ называется $m$-спрямляемым множеством, если существует счётное множество $\{f_i\}$ непрерывно дифференцируемых отображений

$f_i:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$

таких, что

${\mathscr{H}}^m\left[E\mathrm{\setminus }\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i\left({ℝ}^m\right)\right]=0,$

где ${\mathscr{H}}^m$ обозначает $m$-мерную меру Хаусдорфа.

Замечания

• Функции $f_i$ в определении могут быть заменены на липшицевы, при этом класс спрямляемых множеств останется без изменений.

Литература

• Федерер Г., Геометрическая теория меры, 1987, с. 760.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:HШаблон:Citation