Статическая изотропная метрика

Статическая изотропная метрика — это метрика, определяющая статическое изотропное гравитационное поле. Частным случаем этой метрики является метрика Шварцшильда, на случай пустого (ничем не заполненного) пространства-времени.

Определение

Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского $x^1,x^2,x^3,x^0=t$, такой что инваринтное собственное время $d{\tau }^2=-g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$ не зависит от $t$, а зависит от $𝐱,𝐝𝐱$ только через инварианты группы поворотов: ${𝐱}^{\mathrm{𝟐}},𝐱\cdot 𝐝𝐱,𝐝{𝐱}^{\mathrm{𝟐}}$. Самый общий вид записи интервала: $d{\tau }^2=F(r)d{t}^2-2E(r)dt𝐱\cdot 𝐝𝐱-D(r)(𝐱\cdot 𝐝𝐱{)}^2-C(r)𝐝{𝐱}^{\mathrm{𝟐}},$

где $F,E,C,D$ — неизвестные функции величины $r\equiv (𝐱\cdot 𝐱{)}^{1/2}$

Сведение к стандартному виду

Выгодно заменить $𝐱$ сферическими полярными координатами $r,\theta ,\varphi$:

$x^1=r\sin \theta \cos \phi ;$

$x^2=r\sin \theta \sin \phi ;$

$x^3=r\cos \phi .$

Интервал в таком случае примет вид:

$d{\tau }^2=F(r)d{t}^2-2rE(r)dtdr-r^{2}D(r)d{r}^2-C(r)(d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2)$,

Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты

$t^{\prime }\equiv t+\mathrm{\Phi }(r)$

где $\mathrm{\Phi }(r)$ — произвольная функция от $r$. Это позволяет исключить недиагональный элемент $g_{tr}$, положив

$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}=-\frac{rE(r)}{F(r)}$

Тогда интервал выражается так:

$d{\tau }^2=F(r)dt{\text{'}}^2-r^{2}G(r)d{r}^2-C(r)(d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2)$

$G(r)\equiv r^2(D(r)+\frac{E^2(r)}{F(r)})$

Мы можем переопределить радиус $r$ и, тем самым, наложить ещё одно условие на функции $F,G,C$, например следующим образом $r^{\prime }\equiv r^{2}C(r)$ . Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:

$d{\tau }^2=B(r^{\prime })dt{\text{'}}^2-A(r^{\prime })dr{\text{'}}^2-r{\text{'}}^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2)$

где

$B(r)\equiv F(r^{\prime })$

$A(r)\equiv (1+\frac{G(r)}{C(r)}){(1+\frac{r}{2C(r)}\frac{dC(r)}{dr})}^{-2}.$

После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:

$g_{rr}=A(r)$

$g_{\theta \theta }=r^2$

$g_{\varphi \varphi }=r^{2}si{n}^2\theta$

$g_{tt}=-B(r)$

Где функции $A(r)$ і $B(r)$ должны быть определены путём решения уравнений поля. Так как $g_{\mu \nu }$ — диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:

$g^{rr}=A^{-1}(r)$

$g^{\theta \theta }=r^{-2}$

$g^{\varphi \varphi }=r^{-2}si{n}^{-2}\theta$

$g^{tt}=-B^{-1}(r)$

Символы Кристоффеля и тензор Риччи

Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s=\frac{1}{2}{g}^{sk}({\partial }_i{g}_{jk}+{\partial }_j{g}_{ki}-{\partial }_k{g}_{ij})$

Её ненулевые компоненты оказываются равными:

${\mathrm{\Gamma }}_{rr}^r=\frac{1}{2A(r)}\frac{dA(r)}{dx}$,

${\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \varphi }^r=-\frac{rsi{n}^2\theta }{A(r)}$,

${\mathrm{\Gamma }}_{r\theta }^{\theta }={\mathrm{\Gamma }}_{\theta r}^{\theta }=\frac{1}{r}$,

${\mathrm{\Gamma }}_{r\varphi }^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi r}^{\varphi }=\frac{1}{r}$,

${\mathrm{\Gamma }}_{\theta \theta }^r=-\frac{r}{A(r)}$,

${\mathrm{\Gamma }}_{tt}^r=\frac{1}{2A(r)}\frac{dB(r)}{dx}$,

${\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \varphi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta$,

${\mathrm{\Gamma }}_{\theta \varphi }^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \theta }^{\varphi }=ctg\theta$,

${\mathrm{\Gamma }}_{tr}^t={\mathrm{\Gamma }}_{rt}^t=\frac{1}{2B(r)}\frac{dB(r)}{dx}$,

Вычислим также тензор Риччи. Он задаётся выражением

$R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial }_{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\lambda }.$

Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности, получим:

$R_{rr}=\frac{B^{″}(r)}{2B(r)}-\frac{1}{4}\frac{B^{\prime }(r)}{B(r)}(\frac{A^{\prime }(r)}{A(r)}+\frac{B^{\prime }(r)}{B(r)})-\frac{1}{r}\frac{A^{\prime }(r)}{A(r)}$,

$R_{\theta \theta }=-1+\frac{r}{2A(r)}(-\frac{A^{\prime }(r)}{A(r)}+\frac{B^{\prime }(r)}{B(r)})+\frac{1}{A(r)}$,

$R_{\varphi \varphi }=si{n}^2\theta R_{\theta \theta }$,

$R_{tt}=\frac{B^{″}(r)}{2A(r)}-\frac{1}{4}\frac{B^{\prime }(r)}{A(r)}(\frac{A^{\prime }(r)}{A(r)}+\frac{B^{\prime }(r)}{B(r)})-\frac{1}{r}\frac{B^{\prime }(r)}{A(r)}$,

(Штрих теперь означает дифференцирование по $r$). Вследствие инвариантности метрики относительно поворотов компоненты $R_{\theta r}$, $R_{\theta \varphi }$, $R_{\varphi r}$, $R_{\varphi t}$, $R_{\theta t}$ тождественно равны нулю, а $R_{\varphi \varphi }=si{n}^2{R}_{\theta \theta }$. Равенство нулю $R_{tr}$ связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантна относительно обращения времени $t\leftrightarrow -t$.