Сходимость почти всюду

Шаблон:Значения Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меруШаблон:Sfn.

Определение

Пусть $(X,ℱ,\mu )$ — пространство с мерой, и $f_n,f:X\to ℝ,n\in \mathbb{N}$. Говорят, что $\{f_n\}$ сходится почти всюду, и пишут $f_n\to f$ $\mu$-п.в., еслиШаблон:Sfn

$\mu (\{x\in X\mid \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)≠f(x)\})=0$.

Терминология теории вероятностей

Если $(X,ℱ,\mu )=(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ есть вероятностное пространство, и $Y_n,Y$ — случайные величины, такие что

$\mathbb{P}(\{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{Y}_n(\omega )=Y(\omega )\})=1$,

то говорят, что последовательность $\{Y_n\}$ сходится почти наверное к $Y$Шаблон:Sfn.

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
• Пусть $f_n\in L^p(X,ℱ,\mu )\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, где $1\le p<\mathrm{\infty }$, и $\{f_n\}$ сходится почти всюду к $f$. Пусть также существует функция $g\in L^p(X,ℱ,\mu )$ такая, что $|f_n(x)|\le |g(x)|$ для всех $n$ и почти всех $x\in X$ (суммируемая мажоранта). Тогда $f\in L^p(X,ℱ,\mu )$, и $f_n\to f$ в $L^p$. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в $L^p$. Например, последовательность функций $n{\chi }_{[0,1/n]}$ сходится к 0 почти всюду на $[0,1]$, но не сходится в $L^1[0,1]$.
• Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверноШаблон:Sfn.
• Сходимость почти всюду на множестве конечной меры равносильна усиленному условию сходимости по мере. Рассмотрим множество $R_n(\sigma )$ всех $x$ из $X$, для которых хотя бы один член ряда имеет номер, не меньший $n$, но его разность с $f(x)$ по модулю больше $\sigma .$ Предел при возрастающем $n$ меры множества $R_n(\sigma )$ равен нулю для любого положительного $\sigma$ тогда и только тогда, когда $\{f_n\}$ стремиться к $f$ почти всюду на $X$. В формальной записи:

$\mathrm{\forall }\sigma >0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu \{\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\{x\in X:|f_k(x)-f(x)|>\sigma \}\}=0$ $\iff f_n{\stackrel{}{\to }}^{\text{п.в.}}f$ на $X.$

При переходе от сходимости к первому условию важно, чтобы мера $X$ было конечна. Подразумевается, что мера счётно-аддитивна и полна.

Шаблон:Начало скрытого блока Пусть $X_0\subseteq X$ — множество точек, где последовательность функций не сходится к $f(x)$.

По определению предела в $X_0$ попадают те и только те точки, в которых для некоторого $\sigma >0$ из последовательности $f_n(x)$ можно выбрать подпоследовательность, не попадающую в $\sigma$-окрестность значения $f(x)$. При этом можно приблизить $\sigma$ некоторым положительным рациональным числом $q.$ Формализуя вышесказанное:

$X_0=\bigcup _{\sigma >0}\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\{x\in X:|f_k(x)-f(x)|>\sigma \}$ $=\bigcup _{\sigma >0}\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{R}_n(\sigma )$ $=\bigcup _{q\in {\mathbb{Q}}^{+}}\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{R}_n(q)$, где ${\mathbb{Q}}^{+}=\mathbb{Q}\cap (0;\mathrm{\infty }).$

Отметим, что при любом $\sigma >0$ данное множество $R_n(\sigma )$ содержит следующее $R_{n+1}(\sigma ).$

1. Предположим, что последовательность сходится почти всюду, то есть мера $X_0$ равна нулю. Но для любого $\sigma$ пересечение множеств $R_n(\sigma )$ — подмножество $X_0$, так что мера этого пересечения в связи с полнотой меры также ноль. Но множества $R_n(\sigma )$ сужаются — непрерывность меры влечёт доказываемое равенство:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_n(\sigma )=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{R}_n(\sigma )=0.$

2. Обратно, пусть указанная в условии мера множеств стремится к нулю. Тогда эта мера конечна (хотя бы начиная с некоторого номера), и по свойству непрерывности меры при каждом положительном рациональном $q$:

$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{R}_n(q)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_n(q)=0.$

Значит, множество $X_0$ является объединением множеств меры ноль и в силу счётной-аддитивности меры само имеет меру ноль. Шаблон:Конец скрытого блока

См. также

• Почти всюду

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга