Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)

Теорема Громова о компактности или Теорема выбора Громова гласит, что множество римановых многообразий данной размерности с кривизной Риччи ≥ c и диаметром ≤ D является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.

История

Теорема была доказана Громовым, в доказательстве используется неравенство Бишопа — Громова.

Появление этой теоремы подтолкнуло изучение александровских пространств ограниченной снизу кривизны в размерностях 3 и выше и, позже, обобщённых пространств с ограниченной снизу кривизной Риччи.

Вариации и обобщения

• Теорема является обобщением теоремы Майерса.

Теорема Громова — следствие следующего утверждения.

• Любое универсально вполне ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
  • Семейство $X$ метрических пространств называется универсально вполне ограниченным, если для любого $\epsilon >0$ существует целое положительное число $N(\epsilon )$ такое, что любое пространство из $X$ допускает $\epsilon$-сеть из не более чем $N(\epsilon )$ точек.

См. также

• Теорема выбора Бляшке

Литература

• Шаблон:Книга