Неравенство Бишопа — Громова

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности.

Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.

Формулировка

Пусть $M$ — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть

$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}⩾(n-1)K$

для постоянной $K\in ℝ$.

Обозначим через $B(p,r{)}_M$ шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.

Пусть ${𝕄}^n(K)$ обозначает n-мерное модельное пространство. То есть ${𝕄}^n(K)$ — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны $K$. Таким образом,

• ${𝕄}^n(K)$ является n-сферой радиуса $1/\sqrt{K}$, если $K>0$, или
• n-мерным евклидовым пространством, если $K=0$, или
• пространством Лобачевского с кривизной $K<0$.

Тогда для любых $p\in M$ и $\tilde{p}\in {𝕄}^n(K)$ функция

$\varphi (r)=\frac{\mathrm{Vol}B(p,r{)}_M}{\mathrm{Vol}B(\tilde{p},r{)}_{{𝕄}^n(K)}}$

не возрастает в интервале $(0,\mathrm{\infty })$.

Замечания

• При $K=0$ неравенство можно записать следующим образом

  $\mathrm{Vol}B(p,\lambda \cdot r{)}_M⩽{\lambda }^n\cdot \mathrm{Vol}B(p,r{)}_M$

при $\lambda ⩾1$.

• Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что

  $\mathrm{Vol}B(p,r{)}_M⩽\mathrm{Vol}B(\tilde{p},r{)}_{{𝕄}^n(K)}.$

Это неравенство иногда называется неравенством Бишопа; оно было доказано Бишопом.

См. также

• Теорема Майерса