Теорема Гуревича

Теорема Гуревича — фундаментальный результат алгебраической топологии, связывающей гомотопическую теорию с теорией гомологии с помощью отображения, известного как гомоморфизм Гуревича.

Теорема названа в честь Витольда Гуревича; она обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре.

Формулировка

Пусть $X$ — линейно связное топологическое пространство и $n$ — целое положительное число. Гомоморфизм Гуревича:

$h_{\ast }:{\pi }_n(X)\to H_n(X)$

определяется следующим образом: если $u_n$ — образующая $H_n(S^n)$, то гомотопический класс отображения $f\in {\pi }_n(X)$ отображается в $f_{\ast }(u_n)\in H_n(X)$.

При $n=1$ этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм:

${\tilde{h}}_{\ast }:{\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)]\to H_1(X)$

между абеленизацией фундаментальной группы и первой гомологической группой.

Если $n⩾2$ и $X$ — $(n-1)$-связно, то гомоморфизм Гуревича $h_{\ast }:{\pi }_n(X)\to H_n(X)$ является изоморфизмом. Более того, $h_{\ast }:{\pi }_{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ является эпиморфизмом.

Литература

• Шаблон:Книга