Теорема Коши — Ковалевской

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Формулировка

Рассмотрим пространство ${ℝ}^{n+1}$. Точку пространства ${ℝ}^{n+1}$ будем обозначать через $(x,t)=(x_1,\mathrm{...},x_n,t)$, а точку, принадлежащую ${ℝ}^n$, через $x=(x_1,\mathrm{...},x_n)$. Обозначим оператор частного дифференцирования

$L\equiv {\left(\frac{d}{dt}\right)}^m+\sum _{|\nu |+j⩽m,j⩽m-1}{a}_{\nu ,j}(x,t){\left(\frac{d}{dx}\right)}^{\nu }{\left(\frac{d}{dt}\right)}^j.$

Предположим, что коэффициенты оператора $L$ определены в окрестности $U$ начала координат в пространстве переменных $(x,t)$ и являются аналитическими функциями. Пусть функция $f$ также аналитична в $U$. Пусть вектор $\mathrm{\Psi }$ начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат $x$ — пространства. Тогда существуют окрестность $W$ начала координат и единственная аналитическая функция $u(x,t)$, определённая в $W$, для которой

$Lu=f,(x,t)2W,{\left(\frac{d}{dt}\right)}^{j}u(x,0)=u_j(x),x2W\cap 𝒻t=0ℊ(j=0,1,2,\mathrm{...},m-1).(1)$

Доказательство

Положим

$\tilde{u}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}\frac{t^j}{j!}{u}_j(x).$

Тогда из $(1)$ вытекает, что

$L[\tilde{u}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L[\frac{t^j}{j!}{u}_j(x)].$

Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для $u(x,t)$ равны нулю. Перепишем $(1)$ в виде

${\left(\frac{d}{dt}\right)}^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}{\alpha }_j(x,t;\frac{d}{dx}){\left(\frac{d}{dt}\right)}^{j}u(x,t)+f(x,t),(2)$

где ${\alpha }_j(x,t;\xi )$ — полином по $\xi$ степени $m-j$, коэффициенты которого аналитичны в окрестности $U$ начала координат. Легко видеть, что коэффициенты $c_{\nu ,j}$ разложения в ряд Тейлора

$u(x,t)=\sum _{j⩾m;\nu }{c}_{\nu ,j}{x}^{\nu }{t}^j(3)$

определяются однозначно уравнением $(2)$ и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда $(3)$.

Для доказательства сходимости ряда $(3)$ используются мажорантные ряды и полиномы. Функция $F(x,t)$ называется мажорантным рядом для $f(x,t)$ в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты $C_{\mu ,j}$ её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов $c_{\mu ,j}$ разложения функции $f(x,t)$ в ряд Тейлора, то есть $C_{\mu ,j}⩾|c_{\mu ,j}|$.

История

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

См. также

• Задача Коши
• Теорема Хольмгрена

Литература

• C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.
• О.А. Олейник Теорема С.В. Ковалевской и современная теория уравнений с частными производными // Соросовский образовательный журнал, 1997, № 8, стр. 117