Филинг-радиус

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Предложенa Громовым в 1983 году. Он использовал филинг-радиус в доказательстве систолического неравенства для существенных многообразий.

Кривые на плоскости

Филинг-радиус ($\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(C\subset {ℝ}^2)$) замкнутой кривой C на плоскости определяется как наибольший радиус $R>0$ круга, который содержится внутри кривой.

Филинг-радиус кривой C можно также определить как точную нижнюю грань из $\epsilon >0$ таких, что кривая C стягивается в точку в своей $\epsilon$-окрестности.

Определение

Обозначим через A кольцо $\mathbb{Z}$ или ${\mathbb{Z}}_2$, в зависимости от того, является ли Х ориентируемым или нет.

Тогда фундаментальный класс, обозначамый [X], компактного n-мерного многообразия X, является образующей группы гомологии $H_n(X;A)\simeq A$, и мы полагаем

$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(X)=\inf \{\epsilon >0\mid {\iota }_{\epsilon }([X])=0\in H_n(U_{\epsilon }X)\},$

где ${\iota }_{\epsilon }$ обозначает вложение Куратовского Х в пространство ограниченных функций на Х.

Свойства

• В любой размерности $n$ существует константа $c_n$, что неравенство

  $(\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}M{)}^n\le c_n\cdot \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}M$

выполняется для любого замкнутого риманова $n$-мерного многообразия $M$.

• Это основное свойство филинг-радуиса, которое используется Громовым в доказательстве систолического неравенства; доказательство с существенными упрощениями и улучшенной константой приведено Александром Набутовским.
• Для данного многообразия $M$ размерности хотя бы 3, оптимальная константа $c(M)$ в неравенстве

$(\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(M,g){)}^n\le c(M)\cdot \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(M,g)$

зависти только от размерности $M$ и его ориентируемости.

• Филинг-радиус не превосходит трети диаметра.
  • Равенство достигается для вещественного проективного пространства с канонической метрикой.
    • В частности, филинг-радиус единичной окружности с индуцированной римановой метрикой равен π/3, то есть одной шестой её длины.

• Систоль существенного многообразия не превышает шести его филинг-радиусов.
  • Это неравенство становится равенством для вещественных проективных пространств, как указано выше.

• Радиус инъективности компактного многообразия M даёт нижнюю границу на филинг-радиус. А именно,

  $\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}M\ge \frac{\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}M}{\dim M+1}.$

Литература

• Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
• Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505—511.
• Шаблон:Citation