Формула Клаузиуса — Моссотти

Фо́рмула Кла́узиуса — Моссо́тти описывает связь статической диэлектрической проницаемости диэлектрика с поляризуемостью составляющих его частиц. Получена независимо друг от друга в 1850 г. Оттавиано Ф. Моссотти и в 1879 г. Рудольфом Ю. Э. Клаузиусом. В случаях, когда вещество состоит из частиц одного сорта, в Гауссовой системе единиц формула имеет вид:

$\frac{\epsilon -1}{\epsilon +2}=\frac{4\pi }{3}N\alpha ,$

где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость, $N$ — количество частиц в единице объёма, а $\alpha$ — их поляризуемость.

Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент $\alpha$, связывающий напряжённость постоянного электрического поля $\overrightarrow{E}$, действующего на частицу, с дипольным моментом $\overrightarrow{p}$, образующимся у частицы под действием этого поля:

$\overrightarrow{p}=\alpha \overrightarrow{E}.$

Поскольку предполагается, что поле во времени не изменяется, то его действие способно вызывать смещения частиц как с малой массой — электронов, так и с большой — ионов и атомов. Соответственно, в данном случае поляризуемость включает в себя электронную, ионную и атомную поляризуемости.

Формулу записывают также в виде:

$\frac{\epsilon -1}{\epsilon +2}\cdot \frac{M}{\rho }=\frac{4\pi }{3}{N}_{\mathrm{A}}\alpha ,$

где $M$ — молекулярная масса вещества, $\rho$ — его плотность, а $N_{\mathrm{A}}$ — постоянная Авогадро.

Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями ${\alpha }_i$ и объёмными концентрациями $N_i$, то формула принимает вид:

$\frac{\epsilon -1}{\epsilon +2}=\frac{4\pi }{3}[N_1{\alpha }_1+N_2{\alpha }_2+\cdots +N_n{\alpha }_n].$

Формула применима только по отношению к неполярным диэлектрикам, то есть к таким, частицы которых собственным дипольным моментом не обладают. Для применимости формулы необходимо также, чтобы диэлектрик был изотропным.

Вывод

Макроскопическую поляризацию $\overrightarrow{P}$ можно представить как сумму индуцированных дипольных моментов ${\overrightarrow{p}}_{\text{ind}}$ в рассматриваемом объеме, деленную на объем (как плотность дипольного момента):

$\overrightarrow{P}=N{\overrightarrow{p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{local}}$

где $N$ - концентрация частиц , $\alpha$ - поляризуемость, ${\overrightarrow{E}}_{\text{local}}$ - локальное электрическое поле, действующее на атом или молекулу.

Запишем связь поляризации и среднего макроскопического поля через диэлектрическую восприимчивость $\chi$ и диэлектрическую проницаемость ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$:

$\overrightarrow{P}=\chi {\epsilon }_0\overrightarrow{E}=({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}$

и получим следующее равенство:

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}=N\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{local}}$

Теперь необходимо связать локальное поле со средним.

---

Заметим, что для разреженных газов локальное поле равно внешнему, ${\overrightarrow{E}}_{\text{local}}=\overrightarrow{E}$ , и тогда:

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1)=\frac{N}{{\epsilon }_0}\alpha$

---

Для диэлектрика локальное поле не равно приложенному внешнему полю, поскольку соседние индуцированные диполи также создают электрическое поле.

${\overrightarrow{E}}_{\text{local}}=\overrightarrow{E}+{\overrightarrow{E}}_{\text{L}}$

$\overrightarrow{E}$: внешнее электрическое поле

${\overrightarrow{E}}_{\text{L}}=\overrightarrow{P}/(3{\epsilon }_0)$: электрическое поле окружения, созданное поляризацией за пределами сферы Лоренца.

Таким образом, локальное поле:

${\overrightarrow{E}}_{\text{local}}=\overrightarrow{E}+\frac{1}{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}+\frac{({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0}{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{E}=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}{3}\overrightarrow{E}$

При подстановке в равенство выше:

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}=N\alpha \frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}{3}\overrightarrow{E}$

в итоге получаем формулу Клаузиса-Моссотти:

$\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}-1}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}=\frac{N\alpha }{3{\epsilon }_0}$

Обсуждение

Приближённый характер присущ формуле изначально, поскольку приближённой является модель диэлектрика, используемая при её выводе. Действительно, в общем случае нет оснований полагать, что диэлектрик состоит из отдельных частиц с поляризуемостями, присущими им как таковым. Так, в диэлектриках с ковалентными связями электроны могут принадлежать сразу двум атомам. В ионных кристаллах такого обобществления не происходит, но поляризуемости ионов в кристаллах могут существенно отличаться от их поляризуемостей в свободном состоянии.

Точность формулы зависит от агрегатного состояния среды, для описания которой она используется. С наиболее высокой точностью формула справедлива для газов и жидкостей.

Обобщением формулы Клаузиуса — Моссотти на случай полярных диэлектриков, частицы которых обладают дипольным моментом и в отсутствие поля, является формула Ланжевена – Дебая.

В случае оптических частот электромагнитного поля, соответствующих видимому и ультрафиолетовому излучению, смещения ионов и атомов под действием поля происходить не успевают. Поэтому на формирование диэлектрической проницаемости влияют только электронные поляризуемости частиц. Соответственно, в этом случае используется аналог формулы Клаузиуса — Моссотти, справедливый для оптического излучения, — формула Лоренца — Лоренца.

В настоящее время формула Клаузиуса — Моссотти используется не только в её первоначальном виде, формулу продолжают развивать и совершенствовать для повышения точности получаемых результатов и расширения сферы её применения.

См. также

• Формула Лоренца — Лоренца

Ссылки

• А.П. Александров и др. Физика диэлектриков под редакцией проф. А.Ф. Вальтера .ГТТИ , Ленинград 1932 Москва.