Формула Фейнмана — Каца

Формула Фейнмана — Каца — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика Ричарда Фейнмана и математика Марка Каца.

В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый метод Монте-Карло). И наоборот, математическое ожидание случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.

Формулировка в одномерном случае

Рассмотрим дифференциальное уравнение

$\frac{\partial u}{\partial t}+\mu (x,t)\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}{\sigma }^2(x,t)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-V(x,t)u+f(x,t)=0(\ast )$

с неизвестной функцией $u=u(x,t)$, в котором $x\in ℝ$ и $t\in [0,T]$ — независимые переменные, $\mu ,\sigma ,V,f$ — известные функции. Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием

$u(x,T)=\psi (x),$

может быть выражено как условное математическое ожидание

$u(x,t)=E^Q[{\int }_t^T{e}^{-{\int }_t^{s}V(X_{\tau })d\tau }f(X_s,s)ds+e^{-{\int }_t^{T}V(X_{\tau })d\tau }\psi (X_T)|X_t=x],$

где $Q$ — вероятностная мера, такая что случайный процесс $X_t$ является процессом Ито, описываемым стохастическим уравнением

$d{X}_t=\mu (X_t,t)dt+\sigma (X_t,t)d{W}_t^Q,(\ast \ast )$

в котором $W_t^Q$ — винеровский процесс, с начальным условием

$X_0=x$.

Многомерный вариант

Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$.

В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид

$\frac{\partial u}{\partial t}+\sum _{i=1}^n{\mu }_i(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_i}+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\gamma }_{ij}(x,t)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}-V(x,t)u+f(x,t)=0$

и n-мерный случайный процесс $X_t$ описывается стохастическим уравнением

$d{X}_t=\mu (X_t,t)dt+\mathrm{\Sigma }(X_t,t)d{W}_t^Q,$

в котором $\mu$ — это вектор-столбец $({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)$, $W_t^Q$ — n-мерный винеровский процесс, $\mathrm{\Sigma }=({\sigma }_{ij})$ — квадратная матрица порядка n, связанная с матрицей $\mathrm{\Gamma }=({\gamma }_{ij})$ формулой

$\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Sigma }\cdot {\mathrm{\Sigma }}^{\ast },$

звёздочка означает транспонирование.

См. также

• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Формула Ито
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнение Фоккера — Планка

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга