Фрактал Ляпунова

Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB в области [2, 4] x [2, 4].

Фрагмент фрактала Ляпунова в виде ласточки. Итерационная последовательность AB в области [3.81, 3.87] x [3.81, 3.87]

Фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса-Ляпунова) — бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического отображения, в которых степень роста совокупности r периодически меняет значение с A на B и наоборот.

Фракталы Ляпунова строятся отображением областей стабильного и хаотического поведения, измеряемых экспонентой Ляпунова $\lambda$, в плоскости a-b для данной периодической последовательности a и b. На рисунках жёлтый цвет соответствует стабильности ($\lambda <0$), а синий — хаосу ($\lambda >0$).

Свойства

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA; зона роста параметра — в области [3.4, 4.0] x [2.5, 3.4]. Также известен как Zircon City.

Фракталы Ляпунова обычно строятся для значений A и B в интервале $[0,4]$. Для бо́льших значений интервал $[0,1]$ уже не стабилен, и последовательность вероятнее всего стремится к бесконечности, хотя для некоторых параметров всё ещё существуют сходящиеся циклы конечных значений. У всех итерационных последовательностей диагональ a = b такая же, как у стандартной логистической функции с одним параметром.

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. Другие (обычно комплекснозначные) критические точки итеративной функции одного полного цикла — это те, которые проходят через значение 0,5 в первом цикле. Сходящийся цикл должен содержать по меньшей мере одну критическую точку, поэтому все сходящиеся циклы могут быть получены всего лишь сдвигом итерационной последовательности с сохранением начального значения 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям фрактала, поскольку некоторые ветви перекрываются другими. Например, обратите внимание, что фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB не идеально симметричен относительно a и b.

Алгоритм генерации фракталов Ляпунова

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB в области [2, 4] x [2, 4].

1. Выбрать строку из символов A и B любой нетривиальной длины (например, AABAB).
2. Построить последовательность $S$ последовательных символов строки, повторённых необходимое число раз.
3. Выбрать точку $(a,b)\in [0,4]\times [0,4]$.
4. Определить функцию $r_n=\{\begin{array}{cc}a,& S_n=A\\ b,& S_n=B\end{array}$.
5. Принять $x_0=0,5$ и выполнить итерации $x_{n+1}=r_n{x}_n(1-x_n)$.
6. Вычислить экспоненту ЛяпуноваШаблон:Ref-en: $\lambda =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\log \left|\frac{d{x}_{n+1}}{d{x}_n}\right|=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\log |r_n(1-2x_n)|$
7. Раскрасить точку $(a,b)$ согласно полученному значению $\lambda$.
8. Повторить шаги 3-7 для каждой точки плоскости изображения.

На практике $\lambda$ аппроксимируется подбором достаточно большого $N$. Этот алгоритм подходит для таких языков, как Mathematica, но не для языков низкого уровня.

Большее количество измерений

Файл:Lyapunov fractal animation.webm Фракталы Ляпунова могут быть вычислены более чем в двух измерениях. Итерационная последовательность n-мерного фрактала строится из алфавита с количеством букв n. Например, последовательность "ABBBCA" трёхмерного фрактала, который может быть визуализирован либо как 3D объект, либо в виде анимации, каждый кадр которой показывает "срез" в направлении С, как на примере, приведённом в статье.

Ссылки

• EFG’s Fractals and Chaos — Lyapunov ExponentsШаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite webШаблон:Ref-en