Характер биквадратичного вычета

Характер биквадратичного вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Рассмотрим D=Z[i] — кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида $\alpha =a+bi$, где a и b — целые числа.

Пусть $\pi$ — простое в кольце D, с нормой $N\pi$. Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:

• ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_4=0$, если $\alpha$ делится на $\pi$.
• ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_4=1$, если $\alpha$ не делится на $\pi$ и $N\pi =2$.
• Во всех остальных случаях ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_4$ — одно из значений $\{1,-1,i,-i\}$, лежащее в классе вычетов ${\alpha }^{(N\pi -1)/4}mod\pi$ (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный закон взаимности

Назовём $\alpha$, не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала $((1+i{)}^3)$. При этом неединица $\alpha =a+bi$ примарна тогда и только тогда, когда $a\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, $b\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ или $a\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, $b\equiv 2(\mathrm{mod}4)$.

Пусть $\pi$ и $\theta$ — взаимно простые примарные элементы в D, тогда Шаблон:Формула

Другие свойства характера биквадратичного вычета

• ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_4=1$ тогда и только тогда, когда сравнение $x^4\equiv \alpha mod\pi$ разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда $\alpha$ — биквадратичный вычет
• Мультипликативность: ${\left(\frac{\alpha \beta }{\pi }\right)}_4={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_4\cdot {\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}_4$
• Периодичность: если $\alpha \equiv \beta mod\pi$, то ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_4={\left(\frac{\beta }{\pi }\right)}_4$
• Если $\pi =a+bi$ — простое примарное, то ${\left(\frac{-1}{\pi }\right)}_4=(-1{)}^{\frac{a-1}{2}}$

Список литературы

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга