Фильтрация (случайные процессы)

Фильтра́ция в теории случайных процессов — неубывающее семейство σ-алгебр.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ и подмножество числовой прямой $T\subset ℝ$. Семейство σ-алгебр $\{{ℱ}_t{\}}_{t\in T}$ такое, что

${ℱ}_s\subset {ℱ}_t\subset ℱ,\mathrm{\forall }s\le t,s,t\in T,$

называется фильтра́цией вероя́тностного простра́нства $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$.

Естественная фильтрация случайного процесса

Пусть дан случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\in T}$, определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим

${ℱ}_t^X=\sigma \{X_s\mid s\le t,s\in T\},t\in T.$.

Тогда семейство ${\left\{{ℱ}_t^X\right\}}_{t\in T}$ является фильтрацией и называется есте́ственной фильтрацией случайного процесса $\{X_t\}$.

См. также

• Марковский процесс
• Мартингал

Литература

• Скороход А. В. Вероятность. Прикладные аспекты, Теория вероятностей — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 43, ВИНИТИ, М., 1989, стр. 189—270
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука, 1989.