Обратимая функция

График линейной функции, которая является обратимой.

График квадратичной функции, которая не является обратимой.

Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

Определение

Если функция $y=f(x)$ такова, что для любого её значения $y_0$ уравнение $f(x)=y_0$ имеет относительно $x$ единственный корень, то говорят, что функция $f$ обратима.

Свойства

1. Если функция $y=f(x)$ определена и возрастает (или убывает) на промежутке $X$ и областью её значений является промежуток $Y$, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на $X$.
2. Если функция $y=f(x)$ задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение $f(x)=y$ относительно $x$, а потом поменять местами $x$ и $y$.
3. Если уравнение $f(x)=y$ имеет более одного корня, то функции, обратной функции $y=f(x)$, не существует.
4. Графики обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.
5. Если $f$ и $g$ – функции, обратные друг другу, то $E(f)=D(g)$, $D(f)=E(g)$, где $D$ и $E$ – области определения и значений соответственно.
6. Обратная функция может существовать только для обратимой функции.

Примеры

• Функция $y=x^2$ не является обратимой на $ℝ$, но обратима при $x⩾0$ или $x⩽0$ .
• Функция $\sin x$ не является обратимой на $ℝ$, т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.

См. также

• Обратная функция