Вязкостное решение

Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

Определения

Вырожденное эллиптическое уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных

$F(x,u,Du,D^{2}u)=0$,

заданное в области $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$, является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц $X$ и $Y$ таких, что их разница $Y-X$ положительно определенна, и любых значений $x\in \mathrm{\Omega }$, $u\in ℝ$ и $p\in {ℝ}^n$ выполняется неравенство

$F(x,u,p,X)⩾F(x,u,p,Y).$

Примеры

• Уравнение Лапласа

  $-\mathrm{\Delta }u=0$.

• Любое уравнение первого порядка.

Вязкостное решение

Полунепрерывная сверху функция $u$, заданная в $\mathrm{\Omega }$, называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки $x_0\in \mathrm{\Omega }$ и любой гладкой функции $\varphi$ такой, что $\varphi (x_0)=u(x_0)$ и $\varphi ⩾u$ в некоторой окрестности $x_0$, выполняется неравенство

$F(x_0,\varphi (x_0),D\varphi (x_0),D^2\varphi (x_0))⩽0.$

Аналогично полунепрерывная снизу функция $u$, заданная в $\mathrm{\Omega }$, называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки $x_0\in \mathrm{\Omega }$ и любой гладкой функции $\varphi$ такой, что $\varphi (x_0)=u(x_0)$ и $\varphi ⩽u$ в некоторой окрестности $x_0$ выполняется неравенство

$F(x_0,\varphi (x_0),D\varphi (x_0),D^2\varphi (x_0))⩾0.$

Непрерывная функция $u$ является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.

История

Термин впервые появляются в работе Шаблон:Iw и Лионса в 1983 году для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Шаблон:Iw ранее, в 1980 году. Определение было уточнено в совместной работе всех троих.

Литература

• Шаблон:Статья