Состояние Фока

Фоковское состояние — это квантовомеханическое состояние с точно определённым количеством частиц. Названо в честь советского физика В. А. Фока.

Свойства фоковских состояний

В фоковском состоянии $|n⟩$ находится n частиц, где n — целое число.

В основном состоянии $|0⟩$ нет ни одного кванта. Часто $|0⟩$ также называют вакуумным состоянием.

При рассмотрении вторичного квантования состояния Фока формируют самый удобный базис пространства Фока.

Действие операторов рождения и уничтожения на них весьма просто. Они подчиняются следующим соотношениям статистики Бозе — Эйнштейна (случай частиц с целым спином):

$a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$

$a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$

$|n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{†}{)}^n|0⟩$

где $a$ и $a^{†}$ — являются операторами уничтожения и рождения соответственно. Похожие соотношения выполняются для статистики Ферми — Дирака (для частиц с полуцелым спином).

Из этих соотношений следует, что

$<a^{†}a>=n$

и

$Var(a^{†}a)=0,$

таким образом, измерение числа частиц $a^{†}a$ в состоянии Фока всегда даёт определённое значение без флуктуаций.

Состояния Фока не являются собственными функциями гамильтониана в общем случае

В формализме вторичного квантования плотность гамильтониана даётся выражением

$ℌ=\frac{1}{2m}{\mathrm{\nabla }}_i{\psi }^{*}(x){\mathrm{\nabla }}_i\psi (x)$Шаблон:Sfn,

и общий гамильтониан записывается так:

$\begin{array}{cc}\mathscr{H}& =\int d^{3}xℌ=\int d^{3}x{\psi }^{*}(x)(-\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2m})\psi (x)\\ \therefore ℌ& =-\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2m}\end{array}$

В свободной теории Шрёдингера (т. е. для не взаимодействующих частиц в нерелятивистском приближении)Шаблон:Sfn

$ℌ{\psi }_n^{(+)}(x)=-\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2m}{\psi }_n^{(+)}(x)=E_n^0{\psi }_n^{(+)}(x)$

и

$\int d^{3}x{\psi }_n^{(+{)}^{*}}(x){\psi }_{n^{\prime }}^{(+)}(x)={\delta }_{n{n}^{\prime }}$

и

$\psi (x)=\sum _n{a}_n{\psi }_n^{(+)}(x)$,

где $a_n$ — оператор уничтожения.

$\therefore \mathscr{H}=\sum _{n,n^{\prime }}\int d^{3}x{a}_{n^{\prime }}^{†}{\psi }_{n^{\prime }}^{(+{)}^{*}}(x)ℌa_n{\psi }_n^{(+)}(x)$

Только для невзаимодействующих частиц $ℌ$ и $a_n$ коммутируют; в общем случае они не коммутируют. Для невзаимодействующих частиц

$\mathscr{H}=\sum _{n,n^{\prime }}\int d^{3}x{a}_{n^{\prime }}^{†}{\psi }_{n^{\prime }}^{(+{)}^{*}}(x)E_n^0{\psi }_n^{(+)}(x)a_n=\sum _{n,n^{\prime }}{E}_n^0{a}_{n^{\prime }}^{†}{a}_n{\delta }_{n{n}^{\prime }}=\sum _n{E}_n^0{a}_n^{†}{a}_n=\sum _n{E}_n^0\hat{N}$

Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Следовательно, в общем случае фоковские состояния не являются состояниями системы с определённым значением энергии.

Энергия состояний

Фоковские состояния являются собственными функциями гамильтониана поля $H=\hslash \omega (a^{†}a+1/2)$:

$H|n⟩=E_n|n⟩,$

где $E_n$ — энергия соответствующего состояния $|n⟩$.

При подстановке гамильтониана в приведённое выше выражение получим:

$\hslash \omega (a^{†}a+\frac{1}{2})|n⟩=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})|n⟩$

Следовательно, энергия состояния $|n⟩$ равна $E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$, где $\omega$ — частота поля.

Ещё раз отметим, что энергия нулевого (основного) состояния с $n=0$ отлична от нуля, и её называют нулевой энергией.

Вакуумные флуктуации

См. также Частота Раби

Вакуумное состояние, или $|0⟩$, есть состояние с наименьшей энергией. Для него

$a|0⟩=0=⟨0|a^{†}.$

Электрическое и магнитное поля и векторный потенциал имеют одинаковый вид:

$F(\overrightarrow{r},t)=\epsilon a{e}^{i((\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})-\omega t)}+$ $h.c.$

Легко заметить, что величина оператора поля этого состояния исчезает в вакуумном состоянии:

$⟨0|F|0⟩=0.$

Однако можно показать, что квадрат оператора поля не равен нулю.

Вакуумные флуктуации ответственны за многие интересные явления в квантовой оптике, например, такие, как сдвиг Лэмба и сила Казимира.

См. также

• Квантовый гармонический осциллятор

Ссылки

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
• Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, [пер. с англ. ], M., 1963.
• Хоружий С. С., Введение в алгебраическую квантовую теорию поля, М., 1986.
• Шаблон:Книга