Теорема Рунге

Теорема Рунге (также аппроксимационная теорема Рунге) в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году.

Формулировка

Если $K\subset ℂ$ — компактное пространство, $A$ — множество, содержащее хотя бы по одной точке из каждой ограниченной связной компоненты множества $ℂ\setminus K$ и $f$ голоморфная в окрестности $K$, то существует последовательность рациональных функций $\{r_n\}$ с полюсами во множестве $A$, приближающая функцию $f$ равномерно.

Обобщения

Всякая голоморфная в произвольной области $D\subset ℂ$ функция может быть равномерно приближена последовательностью рациональных функций с полюсами вне $D$, это утверждение также фигурирует как теорема Рунге.

Ещё более общий результат — теорема Мергеляна, утверждающая о необходимости и достаточности для равномерного приближения многочленами функции, голоморфной внутри компакта $K\subset ℂ$ и непрерывной на нём, голоморфного продолжения во все ограниченные связные компоненты множества $ℂ\mathrm{\setminus }K$.