Лемма Шура

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммы

Представление группы $G$ автоморфизмами некоторого векторного пространства $GL(V)$ $\sigma :G\to GL(V)$ называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно $\sigma$ подпространства отличного от 0 и самого $V$.

Лемма Шура: Пусть $f$ — линейное отображение векторных пространств $f:V_1\to V_2$ над некоторым полем $K$ такое, что существуют два неприводимых представления $\sigma :G\to GL(V_1)$ и $\tau :G\to GL(V_2)$, такие, что ${\tau }_{g}f=f{\sigma }_g$ для всех $g$. Тогда:

1) Если $f$ не является изоморфизмом, то $f$ — нулевое отображение.

2) Если $V_1=V_2$ конечномерны над алгебраически замкнутым полем $K$ и $\sigma =\tau$, то $f$ является умножением на некоторый элемент поля $f:x\to \lambda x$.

Доказательство

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть $E$ и $F$ модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм $f:E\to F$ является либо нулевым, либо изоморфизмом на $F$.

В самом деле, так как $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f$ и $\mathrm{I}\mathrm{m}f$ являются подмодулями, то если $f$ ненулевой гомоморфизм, имеем $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f=0$, а $\mathrm{I}\mathrm{m}f=F$, то есть $f$ — изоморфизм на весь модуль $F$.

Теперь определим групповое кольцо $K[G]$. Элементами этого кольца будут линейные комбинации $k_1{g}_1+k_2{g}_2+...+k_n{g}_n$. Умножение определяется $(k_1{g}_1)(k_2{g}_2)=(k_1{k}_2)(g_1{g}_2)$ и далее по линейности. Ясно, что $K[G]$ кольцо. На пространстве $V_1$ определим умножение элемента из $K[G]$ на элемент $x\in V_1$: $(k_1{g}_1+k_2{g}_2+...+k_n{g}_n)x=k_1{\sigma }_{g_1}x+k_2{\sigma }_{g_2}x+...+k_n{\sigma }_{g_n}x$. Тем самым мы превращаем $V_1$ в модуль над кольцом $K[G]$. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. $\sigma$ является представлением. $V_2$ аналогично, заменяя $\sigma$ на $\tau$, будет модулем над $K[G]$, а равенство ${\tau }_{g}f=f{\sigma }_g$ то, что отображение $f$ является гомоморфизмом модулей. Так как $\sigma$ и $\tau$ неприводимы, а это означает простоту $V_1$ и $V_2$ как модулей над $K[G]$, то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора $x\ne 0$ для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значению $\lambda$, $f(x)=\lambda x$. Для любого элемента $g\in G$ имеем ${\sigma }_g(f-\lambda \mathrm{id})=(f-\lambda \mathrm{id}){\sigma }_g$, причём для собственного вектора $(f-\lambda \mathrm{id})(x)=0,$ следовательно $f-\lambda \mathrm{id}$ по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, $f$ является умножением на некоторое $\lambda$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга