Лемма Шура

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммы

Представление группы $G$ автоморфизмами некоторого векторного пространства $G L (V)$ $σ : G \to G L (V)$ называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно $σ$ подпространства отличного от 0 и самого $V$ .

Лемма Шура: Пусть $f$ — линейное отображение векторных пространств $f : V_{1} \to V_{2}$ над некоторым полем $K$ такое, что существуют два неприводимых представления $σ : G \to G L (V_{1})$ и $τ : G \to G L (V_{2})$ , такие, что $τ_{g} f = f σ_{g}$ для всех $g$ . Тогда:

1) Если $f$ не является изоморфизмом, то $f$ — нулевое отображение.

2) Если $V_{1} = V_{2}$ конечномерны над алгебраически замкнутым полем $K$ и $σ = τ$ , то $f$ является умножением на некоторый элемент поля $f : x \to λ x$ .

Доказательство

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть $E$ и $F$ модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм $f : E \to F$ является либо нулевым, либо изоморфизмом на $F$ .

В самом деле, так как $K e r f$ и $I m f$ являются подмодулями, то если $f$ ненулевой гомоморфизм, имеем $K e r f = 0$ , а $I m f = F$ , то есть $f$ — изоморфизм на весь модуль $F$ .

Теперь определим групповое кольцо $K [G]$ . Элементами этого кольца будут линейные комбинации $k_{1} g_{1} + k_{2} g_{2} + . . . + k_{n} g_{n}$ . Умножение определяется $(k_{1} g_{1}) (k_{2} g_{2}) = (k_{1} k_{2}) (g_{1} g_{2})$ и далее по линейности. Ясно, что $K [G]$ кольцо. На пространстве $V_{1}$ определим умножение элемента из $K [G]$ на элемент $x \in V_{1}$ : $(k_{1} g_{1} + k_{2} g_{2} + . . . + k_{n} g_{n}) x = k_{1} σ_{g_{1}} x + k_{2} σ_{g_{2}} x + . . . + k_{n} σ_{g_{n}} x$ . Тем самым мы превращаем $V_{1}$ в модуль над кольцом $K [G]$ . Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. $σ$ является представлением. $V_{2}$ аналогично, заменяя $σ$ на $τ$ , будет модулем над $K [G]$ , а равенство $τ_{g} f = f σ_{g}$ то, что отображение $f$ является гомоморфизмом модулей. Так как $σ$ и $τ$ неприводимы, а это означает простоту $V_{1}$ и $V_{2}$ как модулей над $K [G]$ , то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора $x \neq 0$ для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значению $λ$ , $f (x) = λ x$ . Для любого элемента $g \in G$ имеем $σ_{g} (f - λ id) = (f - λ id) σ_{g}$ , причём для собственного вектора $(f - λ id) (x) = 0,$ следовательно $f - λ id$ по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, $f$ является умножением на некоторое $λ$ .

Литература

Лемма Шура

Формулировка леммы

Доказательство

Литература

Навигация

Поиск