K-функция

K-функция, обычно обозначаемая $K(z)$, является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.

Формально, K-функция определяется, как

$K(z)=(2\pi {)}^{(-z-1)/2}\exp [\left(\begin{array}{c}z\\ 2\end{array}\right)+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}\ln (t!)dt].$

Также определяется в замкнутой форме:

$K(z)=\exp [{\zeta }^{\prime }(-1,z)-{\zeta }^{\prime }(-1)]$

где ζ'(z) обозначает производную дзета-функции Римана, ζ(a,z) — это дзета-функция Гурвица и

${\zeta }^{\prime }(a,z)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left[\frac{d\zeta (s,z)}{ds}\right]}_{s=a}.$

K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса; для целых чисел n можно написать:

$K(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{G(n)}.$

Также

$K(n+1)=1^1{2}^2{3}^3\cdots n^n.$

Для положительных аргументов принимает минимальное значение $0,879786843\dots$ в точке $x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=0,53768886\dots .$

Ссылки

• К-функция на mathworld