Кривая Ферма

Кривая Ферма — алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости, определяемая в однородных координатах (X:Y:Z) уравнением Ферма

$X^n+Y^n=Z^n.$

Применительно к евклидовой плоскости уравнение имеет вид

$x^n+y^n=1.$

Целочисленное решение уравнения Ферма соответствует ненулевому рациональному решению евклидова уравнения и наоборот. Согласно теореме Ферма при n ≥ 3 не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма, поэтому кривая Ферма не имеет ненулевых рациональных точек.

Кривая Ферма Шаблон:Нп3 и имеет род

$(n-1)(n-2)/2.$

Таким образом, кривая Ферма имеет род 0 для n = 2 (и является коническим сечением) и род 1 для n = 3 (и является эллиптической кривой). Шаблон:Нп3 кривой Ферма глубоко изучено. Оно изоморфно произведению простых абелевых многообразий с Шаблон:Нп3.

Существует обобщение кривой Ферма на большее число измерений; в этом случае уравнения, аналогичные уравнению кривой Ферма, определяют проективное многообразие, называемое многообразием Ферма.

Ссылки

• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback.