Пирамидальное число

Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: Шаблон:Nowrap

• Шаблон:Нп5.
• Шаблон:Нп5.
• Шаблон:Нп5.

Определение

Пирамидальные числа определяются следующим образом. Шаблон:Рамка $n$-е по порядку $k$-угольное пирамидальное число ${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}$ есть сумма первых $n$ плоских фигурных чисел $P_n^{(k)}$ с тем же числом углов $k$:

${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}=P_1^{(k)}+P_2^{(k)}+P_3^{(k)}+\dots +P_n^{(k)}$

|} Геометрически пирамидальное число ${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}$ можно представить как пирамиду из $n$ слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до $P_n^{(k)}$ (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё АрхимедуШаблон:Sfn:

Шаблон:EF

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

${\mathrm{\Pi }}_n^{(k)}=\frac{(k-2)n-k+5}{3}{P}_n^{(3)}=\frac{n+1}{6}(2P_n^{(k)}+n)$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Фигурные числа Шаблон:Wayback
• Figurate Numbers Шаблон:Wayback на сайте MathWorldШаблон:Ref-en
• Centered Polygonal Number Шаблон:Wayback на сайте MathWorldШаблон:Ref-en