Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году, утверждающая, что

$p_{n+1}-p_n=O({\ln }^2{p}_n),$

где $p_n$ обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что интервалы между последовательными простыми числами всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{{\ln }^2{p}_n}=1.$

Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно $\frac{1}{\ln x}$. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

$p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)$

предполагая истинной гипотезу Римана.

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\mathrm{\infty }.$

Гипотеза Крамера — Гранвилла

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов $G(x)$ между простыми, не превышающими $x$. Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:

$G(x)\sim {\ln }^{2}x.$

В вероятностной модели

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{{\ln }^2{p}_n}=c,$ при этом $c=1.$

Но константа $c$ возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Гранвилл в 1995 году утверждал, что константа $c=2e^{-\gamma }\approx 1,1229\dots$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера.

М. Вольф предложил формулу для максимального расстояния $G(x)$ между последовательными простыми числами меньшими $x$. Формула Вольфа выражает $G(x)$ через функцию распределения простых чисел $\pi (x)$:

$G(x)\sim \frac{x}{\pi (x)}(2\ln \pi (x)-\ln x+c_0),$

где $c_0=\ln C_2=0,2778769\dots$, а $C_2=1,3203236\dots$ есть удвоенная константа простых-близнецов.

Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми. Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:

$R=\frac{\ln p_n}{\sqrt{p_{n+1}-p_n}}.$

Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел
• Интервалы между простыми числами
• Гипотеза Фирузбэхт — более сильная гипотеза
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрицы — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld