Гипотеза Лежандра

График количества простых чисел между n² и (n + 1)²

Гипо́теза Лежа́ндра (3-я пробле́ма Ланда́у) — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами, согласно которой для любого натурального $n$ существует простое число между $n^2$ и $(n+1{)}^2$. Является одной из проблем Ландау. Сформулирована Лежандром в 1808 году, по состоянию Шаблон:На ни доказана, ни опровергнута.

Промежутки простых чисел

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между $n^2$ и $(n+1{)}^2$ асимптотически стремится к $n/\ln n$. Поскольку это число растёт при росте $n$, это даёт основания для гипотезы Лежандра.

Если гипотеза верна, интервал между любым простым $p$ и следующим простым всегда должен быть порядка $O(\sqrt{p})$, как выражено в $O$-нотации. Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.

Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок $(\log p{)}^2$), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших $n$. Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница $O(\sqrt{p}\log p)$ размера наибольшего интервала между простыми числамиШаблон:Sfn.

Контрпример в районе 10¹⁸ должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.

Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама.

Частичные результаты

В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале $[x,x+O(x^{21/40})]$ для всех больших $x$Шаблон:Sfn.

Таблица максимальных интервалов простых чисел показываетШаблон:Sfn, что гипотеза выполняется до $n^2=4\cdot 10^{18}$.

Было доказано, что для бесконечного количества чисел $n\in \mathbb{N}$ выполняется

$\lfloor \frac{1}{2}(\frac{(n+1{)}^2}{\log (n+1)}-\frac{n^2}{\log n})-\frac{(\log n{)}^2}{\log \log n}\rfloor \le \pi ((n+1{)}^2)-\pi \left(n^2\right),$

где $\pi$ — функция распределения простых чисел.

См. также

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Брокара
• Гипотеза Фирузбэхт

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:E-print
• Шаблон:E-print
• Шаблон:E-print