Проблемы Ландау

Проблемы Ландау — четыре теоретико-числовых гипотезы, выделенные в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков:

• гипотеза Гольдбаха: можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
• гипотеза о числах-близнецах: бесконечно ли число простых $p$ таких, что $p+2$ тоже простое?
• гипотеза Лежандра: всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
• существует ли бесконечно много простых чисел $p$, для которых $p-1$ является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида $n^2+1$?

Все четыре проблемы по состоянию на 2025 год остаются открытыми.

Продвижения

Гипотеза Гольдбаха

Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого $n$. В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел, больших 5. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня утверждает, что для всех достаточно больших $n$ возможно представление $2n=p+q$, где $p$ простое, а $q$ либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, непредставимые в виде суммы двух простых, имеют плотность нульШаблон:Sfn.

В 2015 году Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня: любое чётное число, большее $e^{e^{36}}\approx 1,7\cdot 10^{1872344071119348}$, является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Гипотеза о числах-близнецах

Чжан ИтанШаблон:Sfn показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (МейнардШаблон:Sfn, Голдстон, Пинц и ЙылдырымШаблон:Sfn).

Чэнь показал, что имеется бесконечно много простых чисел $p$ (позднее названных простыми числами Чэня), таких, что $p+2$ является простым или полупростым.

Гипотеза Лежандра

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими $p$, меньше величины $2\sqrt{p}$. Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×10¹⁸Шаблон:Sfn. Контрпример около 10¹⁸ должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более $x^{1/6}$ нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим $\sqrt{2p}$. В частностиШаблон:Sfn:

$\sum _{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x⩽p_n⩽2x}}{p}_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}$.

Результат Ингема показывает, что существует простое между $n^3$ и $(n+1{)}^3$ для любого достаточно большого $n$Шаблон:Sfn.

Почти квадратные простые числа

Теорема Фридландера — Иванца утверждает о бесконечно большом количестве простых чисел вида $x^2+y^4$Шаблон:Sfn. Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида $n^2+1$ с максимум двумя простыми делителямиШаблон:SfnШаблон:Sfn. Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для $L$-функций на Шаблон:Не переведено 5 существует бесконечно много простых чисел вида $x^2+y^2$ с $y=O(\log x)$Шаблон:Sfn.

Дешуиллерс и ИванецШаблон:Sfn, улучшив результат ХулиШаблон:Sfn и ТоддаШаблон:Sfn, показали, что существует бесконечно много чисел вида $n^2+1$ с бо́льшим простым множителем по меньшей мере $n^{1,2}$. Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы. В обратную сторону, Шаблон:Не переведено 5 показывает, что существует $O(\frac{\sqrt{x}}{\log x})$ таких простых, меньших $x$.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:MathWorld