Гипотеза Андрицы

Шаблон:Кратное изображение Гипо́теза А́ндрицы — гипотеза относительно интервалов между простыми числами, согласно которой неравенство

$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1$

выполняется для всех $n$, где $p_n$ является $n$-м простым числом. Если $g_n=p_{n+1}-p_n$ означает $n$-й интервал, то гипотезу Андрицы можно переписать как

$g_n<2\sqrt{p_n}+1$.

Сформулирована румынским математиком Дорином Андрицей в 1986 годуШаблон:Sfn.

Эмпирическое подтверждение

В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до $1,3002\times 10^{16}$Шаблон:Sfn. Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до $4\times 10^{18}$.

Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции $A_n=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}$ (функции Андрицы) наибольшее значение наблюдается в точке $n=4$ со значением $A_4\approx 0,670873\dots$, и бо́льших значений нет среди первых 10⁵ простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания $n$, гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной.

Обобщения

В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство:

$p_{n+1}^x-p_n^x=1,$

где $p_n$ — $n$-е простое, а $x$ может быть любым положительным (вещественным) числом.

Наибольшее возможное решение по $x$ находится при $n=1$, когда $x_{\max }=1$. Есть гипотеза, что наименьшее значение $x$ равно $x_{\min }\approx 0,567148\dots$, которое находится при $n=30$.

Эта гипотеза формулируется в виде неравенства, обобщающего гипотезу Андрицы:

$p_{n+1}^x-p_n^x<1$ для $x<x_{\min }$.

См. также

• Гипотеза Крамера
• Гипотеза Лежандра
• Гипотеза Фирузбэхт

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Andrica’s Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture Шаблон:Wayback at PlanetMath
• Шаблон:MathWorld