Гипотеза Брокара

Шаблон:Не путать Гипо́теза Брока́ра — в теории чисел гипотеза о квадратах простых чисел, сформулированная Брокаром.

Формулировка

Формулировка: Шаблон:Начало цитаты Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа последовательности $\pi (p_{n+1}^2)-\pi (p_n^2)$, кроме первого, не меньше 4, где $\pi (x)$ — количество простых чисел, меньших $x$. Шаблон:Конец цитаты

n	$p_n$	$p_n^2$	Простые числа	$\mathrm{\Delta }$
1	2	4	5, 7	2
2	3	9	11, 13, 17, 19, 23	5
3	5	25	29, 31, 37, 41, 43, 47	6
4	7	49	53, 59, 61, 67, 71…	15
5	11	121	127, 131, 137, 139, 149…	9
$\mathrm{\Delta }$ обозначает $\pi (p_{n+1}^2)-\pi (p_n^2)$.

На начало 2020 года не доказана и является одной из открытых математических проблем. Верна для первых 10 тыс. простых чисел, см. сдвинутую на один вправо последовательность Шаблон:OEIS: 2, 2 (№ 1), 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44…

Гипотеза Лежандра

Схожая и тоже недоказанная гипотеза Лежандра, также называемая третьей проблемой Ландау, утверждает, что Шаблон:Начало цитаты Между квадратами двух последовательных натуральных чисел всегда найдётся простое число, или, что равносильно, функция $\pi (n^2)$ строго возрастает с ростом $n$. Шаблон:Конец цитаты