Мультиномиальный коэффициент

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении $(x_1+x_2+\dots +x_m{)}^n$ по мономам $x_1^{k_1}{x}_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}$:

$(x_1+x_2+\dots +x_m{)}^n=\sum _{k_1+k_2+\dots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})x_1^{k_1}{x}_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}.$

Явная формула

Значение мультиномиального коэффициента $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})$ определено для всех целых неотрицательных чисел n и $k_1,k_2,\dots ,k_m$ таких, что $k_1+k_2+\dots +k_m=n$:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}.$

Биномиальный коэффициент $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ для неотрицательных целых чисел n, k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k,n-k}).$

Свойства

• В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})$ равен числу упорядоченных разбиений n-элементного множества на m подмножеств мощностей $k_1,k_2,\dots ,k_m$.

• $\sum _{k_1+k_2+\dots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=m^n.$

• из формулы Стирлинга при фиксированных $({\alpha }_i{)}_{i=1}^n\in (0;1{)}^n,{\alpha }_1+\dots +{\alpha }_k=1$ следует асимптотическая формула $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{{\alpha }_{1}n,\dots ,{\alpha }_{k}n})\sim {\left(\frac{1}{{{\alpha }_1}^{{\alpha }_1}\dots {{\alpha }_k}^{{\alpha }_k}}+o(1)\right)}^n$

См. также

• Мультиномиальное распределение