Теорема Риса о полноте

Теорема Риса о полноте — утверждение функционального анализа о полноте пространства Лебега $L_2(a,b)$. Названа по имени венгерского математика Фридьеша Риса, установившего результат.

Формулировка

Каждая последовательность $\{f_n(x)\}$ функций с интегрируемым на $[a,b]$ квадратом, сходящаяся в среднем в себе, сходится в среднем к некоторой функции, также принадлежащей пространству $L_2(a,b)$.

Доказательство

Пусть задано произвольное $ϵ>0$. Найдется номер $n_{ϵ}$, такой что $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n+p}(x)-f_n(x)\}}^{2}dx<{ϵ}^2$ при $n⩾n_{ϵ},p>0$. Возьмем $ϵ=\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},...,\frac{1}{2^k},...$ и для каждого $ϵ=\frac{1}{2^k}$ подберем соответствующий номер $n_k$. Можно считать, что $n_1<n_2<....<n_k<...$. Таким образом, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n+p}(x)-f_n(x)\}}^{2}dx<\frac{1}{2^{2k}}$. Взяв, в частности $n=n_k,n+p=n_{k+1}$, будем иметь $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx<\frac{1}{2^{2k}}$. Неравенство Коши — Буняковского даст $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|*1dx⩽\sqrt{\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx}\sqrt{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx}<\sqrt{b-a}*\frac{1}{2^k}$. И поэтому положительный ряд $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_{n_1}(x)|dx+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|}^{2}dx$ сходится, так как его члены не превышают членов сходящегося геометрического ряда. Покажем, что $f(x)\in L_2(a,b)$. Положим в неравенстве $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n+p}(x)-f_n(x)\}}^{2}dx<\frac{1}{2^{2k}}$ $n=n_k$ а $n+p=n_m$, где $m>k$. Получим $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n_m}(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx<\frac{1}{2^{2k}}$. Пусть $m\to \mathrm{\infty }$.Тогда подынтегральные функции стремятся почти всюду к ${\{f(x)-f_{n_k}(x)\}}^2$ и в силу их неотрицательности можно применить лемму Фату. Будем иметь $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx⩽\underset{m>k}{\sup }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n_m}(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx<\frac{1}{2^{2k}}$, то есть $f(x)\in L_2(a,b)$. Теперь неравенство $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx⩽\underset{m>k}{\sup }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n_m}(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx<\frac{1}{2^{2k}}$ показывает, что подпоследовательность $\{f_{n_k}(x)\}$ сходится в среднем к $f(x)$. Докажем, что и вся последовательность $\{f_n(x)\}$ сходится к той же функции. Согласно неравенству треугольника имеем $\Vert f_n-f\Vert ⩽\Vert f_n-f_{n_k}\Vert +\Vert f_{n_k}-f\Vert$. Для произвольного $ϵ>0$ возьмем сначала $k$ так, чтобы $\frac{1}{2^{2k}}<\frac{ϵ}{2}$. Тогда в силу $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx⩽\underset{m>k}{\sup }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\{f_{n_m}(x)-f_{n_k}(x)\}}^{2}dx<\frac{1}{2^{2k}}$ получаем $\Vert f_{n_k}-f\Vert <\frac{ϵ}{2}$. Если, кроме того, выбрать $n_k$ настолько большим, чтобы при $n⩾n_k$ имело место неравенство $\Vert f_n-f_{n_k}\Vert <\frac{ϵ}{2}$, что возможно в силу сходимости в среднем к себе последовательности $\{f_n(x)\}$, то будем иметь $\Vert f_n-f\Vert <ϵ$ при $n⩾n_k$, а это и означает требуемую сходимость.

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.