Теорема Колмогорова о трёх рядах

Теорема Колмогорова о трёх рядах, названная в честь Андрея Колмогорова, в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с их распределениями вероятностей. Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с леммой Кронекера может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Определения

Пусть $c$ — некоторая константа. Тогда

${\xi }^c=\{\begin{array}{cc}\xi ,& |\xi |⩽c,\\ 0,& |\xi |>c.\end{array}$

$I$ — индикатор на множестве значений случайной величины.

Формулировка теоремы

Пусть ${\xi }_1,{\xi }_2...$ — последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда $\sum \xi$ необходимо, чтобы для любого $c>0$ сходились ряды

$\sum 𝔼{\xi }_n^c,$

$\sum D{\xi }_n^c,$

$\sum P(|{\xi }_n|⩾c)$

и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором $c>0$.

Доказательство

Достаточность

По теореме о двух рядах ряд $\sum {\xi }_n^c$ сходится с вероятностью единица. Но если $\sum P(|{\xi }_n|⩾c)<\mathrm{\infty }$, то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью единица $\sum I(|{\xi }_n|⩾c)<\mathrm{\infty }$, а значит, ${\xi }_n={\xi }_n^c$ для всех $n$, за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд $\sum \xi$ также сходится.

Необходимость

Если ряд $\sum {\xi }_n$ сходится, то ${\xi }_n\to 0$ и, значит, для всякого $c>0$ может произойти не более конечного числа событий $|{\xi }_n|⩾c$. Поэтому $\sum I(|{\xi }_n|⩾c)<\mathrm{\infty }$ и по второй части леммы Бореля — Кантелли $\sum P(|{\xi }_n|⩾c)<\mathrm{\infty }$. Далее, из сходимости ряда $\sum {\xi }_n$ следует и сходимость ряда $\sum {\xi }_n^c$. Поэтому по теореме о двух рядах каждый из рядов $\sum 𝔼{\xi }_n^c$ и $\sum D{\xi }_n^c$ сходится.

Следствие

Пусть ${\xi }_1,{\xi }_2...$ — независимые случайные величины с $𝔼{\xi }_n=0$. Тогда, если

$\sum 𝔼\frac{{\xi }_n^2}{1+|{\xi }_n|}<\mathrm{\infty },$

то ряд $\sum {\xi }_n$ сходится с вероятностью единица.

Пример

В качестве примера рассмотрим случайный гармонический ряд:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\pm \frac{1}{n}$

где «$\pm$» означает, что знак каждого члена $1/n$ выбран случайно, независимо, и с вероятностями $1/2$, $1/2$. Выбрав в качестве ${\xi }_n$ ряд, членами которого являются $1/n$ и $-1/n$ с равными вероятностями, легко убедиться, что он удовлетворяет условиям теоремы и сходится с вероятностью единица. C другой стороны, аналогичный ряд обратных квадратных корней со случайными знаками:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\pm \frac{1}{\sqrt{n}},$

расходится с вероятностью единица, так как ряд $\sum D{\xi }_n^c$ расходится.

Литература

• Шаблон:Книга (Глава 4 § 2 раздел 1)

Ссылки

• Шаблон:Cite web