Целозначный многочлен

Целозначный многочлен — многочлен, принимающий целые значения для целого аргумента.

Целозначный многочлен не обязательно имеет целые коэффициенты: например, $p(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ целозначен, поскольку одно из чисел $n$ и $n+1$ чётно.

Порождающие целозначные многочлены

Целозначные многочлены одной переменной степени не выше $d$ образуют свободную абелеву группу $I_d={\mathbb{Z}}^{d+1}$ на $d+1$ образующих. Например, ${\gamma }_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})$ для $k=0,...,d$ (то есть ${\gamma }_0=1$, ${\gamma }_1=n+1$, ${\gamma }_2=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ и т. д.) или $S_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{d})$ для $k=0,...,d$, где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})$ — биномиальные многочлены.

Связь с алгебраической геометрией

Пусть $K_0({\mathbb{P}}^d)$ — группа Гротендика проективного пространства размерности $d$, то есть абелева группа, порождённая классами $[E]$ векторных расслоений $E$ и соотношениями $[E\oplus F]=[E]+[F]$; в частности, изоморфная ${\mathbb{Z}}^{d+1}$. Построим отображение $f:K_0({\mathbb{P}}^d)\to I_d$, отправляющее расслоение $V$ в его многочлен Гильберта $\chi (V(n))$, где $\chi$ — эйлерова характеристика векторного расслоения как когерентного пучка. Тогда $f(𝒪{|}_{{\mathbb{P}}^k})={\gamma }_k$ и $f(𝒪(k))=S_k$, то есть стандартные целочисленные многочлены имеют ясный геометрический смысл.

Ссылки

• Шаблон:Citation