Группа Гротендика

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть $M$ — коммутативный моноид, т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в $M$ назовём сложением. Группа Гротендика моноида $M$ (обозначается обычно $K$ или $K_0$) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида $M$ до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Универсальное свойство

Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.

Пусть $M$ — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика $K$ должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

$i:M\to K$

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

$f:M\to A$

в абелеву группу $A$ существует единственный гомоморфизм абелевых групп

$g:K\to A$

такой, что

$f=g\circ i.$

В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид $M$ в его группу Гротендика $K$, является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Явное определение для моноида со свойством сокращения

Если моноид обладает свойством сокращения (из $x+y=x+z$ следует $y=z$), то группу Гротендика можно построить следующим образом. Рассмотрим декартово произведение $M\times M$, элементами которого являются пары $(a,b)$, где $a,b\in M$. При этом мы представляем, что пары $(a,b)$ соответствуют разностям $a-b$; исходя из этого сложение определяется формулой

$(a,b)+(a^{\prime },b^{\prime })=(a+a^{\prime },b+b^{\prime }).$

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида $M$).

Для того, чтобы определить группу Гротендика $K$, нужно ввести на множестве $M\times M$ отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы $(a,b)$ и $(a^{\prime },b^{\prime })$, для которых выполнено равенство: $a+b^{\prime }=a^{\prime }+b$ (подобно построению поля частных). Выполнение свойств рефлексивности и симметричности проверяется тривиально. Транзитивность следует из свойства сокращения. Класс эквивалентности пары $(a,b)$ называется формальной разностью элементов $a$ и $b$ и обозначается $a-b$. Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика $K$ моноида $M$.

Нейтральный (нулевой) элемент группы $K$ — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида $(a,a)$ при всевозможных $a\in M$. Элемент, противоположный к элементу $(a,b)$, имеет вид $(b,a)$ (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение $M\to K$, которое позволяет считать $K$ расширением $M$. Именно, каждому элементу $a\in M$ ставится в соответствие формальная разность $a-0$.

Приведенное построение наглядно, но без предположения свойства сокращения указанное отношение может не быть транзитивным. Как пример, рассмотрим кардинальные числа с операцией сложения (позволяя себе вольность рассматривать их все как множество); обозначив мощность множества натуральных чисел через ${\omega }_0$, получим, что $(0,0)\sim ({\omega }_0,{\omega }_0)\sim (0,{\omega }_0)$, но $(0,0)\nsim (0,{\omega }_0)$

Явное определение в общем случае

Рассмотрим абелеву группу $A$, построенную на элементах моноида $M$ (т.е. абелеву группу с базисом { $e_m|m\in M$ }. В ней рассмотрим подгруппу $B$, порожденную элементами вида $e_{a+b}-e_a-e_b$. Факторгруппа $K=A/B$ и есть группа Гротендика (факторизация по B имеет тот же смысл, что и введение отношения эквивалентности для моноидов со свойством сокращения).

При таком построении имеется естественный гомоморфизм $M$ в $K$, при котором $m\in M$ переходит в смежный класс $e_m+B$. Эти классы являются системой порождающий всей группы $K$, следовательно любой гомоморфизм $f:M\to A$ в абелеву группу продолжается на $K$ не более чем одним способом; это продолжение можно задать явно:

$\sum k_i[e_{m_i}]\mapsto \sum k_{i}f(m_i)$

($[e_m]$ означает смежный класс элемента $e_m$). Корректность этого продолжения (т.е. независимость от выбора представителя смежного класса) следует из определения группы $B$.

Указанный гомоморфизм $M\to K$ является вложением, если и только если $M$ обладает свойством сокращения.

Примеры

Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением $(\mathbb{N},+)$ действительно образуют коммутативный моноид со свойством сокращения. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел $n-m$ с отношением эквивалентности

$n-m\sim n^{\prime }-m^{\prime }\leftrightarrow n+m^{\prime }=n^{\prime }+m.$

Теперь определим

$n:=[n-0],$

$-n:=[0-n]$

для всех $n\in \mathbb{N}$. Эта конструкция определяет целые числа $\mathbb{Z}$.

Ссылки

• Grothendieck group Шаблон:Wayback на PlanetMath.
• Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, Шаблон:ISBN.