Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Аксиомы Стинрода — Эйленберга — набор основных свойств теорий гомологий, выделенный Эйленбергом и Стинродом.

Этот подход позволяет доказывать результаты, такие как последовательность Майера — Вьеториса, сразу для всех теорий гомологий.

Аксиомы

Пусть $H_n$ — последовательность функторов из категории пар $(X,A)$ топологических пространств в категорию коммутативных групп, снабжённая естественным преобразованием $\partial :H_i(X,A)\to H_{i-1}(A)$, называемым границей. (Здесь $H_{i-1}(A)$ является сокращением для $H_{i-1}(A,\mathrm{\varnothing })$.)

1. Гомотопическая эквивалентность индуцирует те же гомологии. То есть, если $g:(X,A)\to (Y,B)$ гомотопно $h:(X,A)\to (Y,B)$, то их индуцированные отображения одинаковы.
2.   Предположим, $(X,A)$ есть пара и $U$ — подмножество $X$, такое, что его замыкание содержится во внутренности $A$. Тогда включение $i:(X-U,A-U)\to (X,A)$ индуцирует изоморфизм в гомологии.
3. Пусть $P$ есть одноточечное топологическое пространство, тогда $H_n(P)=0$ для всех $n\ne 0$.
4. Если $X=\coprod _{\alpha }{X}_{\alpha }$, дизъюнктное объединение семейства топологических пространств $X_{\alpha }$, то $H_n(X)\cong \underset{\alpha }{⨁}{H}_n(X_{\alpha })$.
5. Каждая пара $(X,A)$ индуцирует длинную точную последовательность гомологий по включениям $i:A\to X$ и $j:X\to (X,A)$:

   $\cdots ⟶H_n(A)\stackrel{i_{*}}{⟶}{H}_n(X)\stackrel{j_{*}}{⟶}{H}_n(X,A)\stackrel{\partial }{⟶}{H}_{n-1}(A)⟶\cdots .$

Литература

• Ч. Коснёвски Начальный курс алгебраической топологии