Теорема о разностях

Теорема о разностях — теорема, связывающая понятия производной и прямой конечной разности высших порядков для степенной функции натурального показателя степени.

Теорема

Теорема о разностях утверждает, что для любой степенной функции с натуральным показателем степени справедливо равенство производной и конечной разности порядка, равного показателю степени и равняется показателю степени под знаком факториала.

Доказательство

Рассмотрим степенную функцию вида $f(x_i)=x_i^n,x_i=i\cdot \mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }x=x_{i+1}-x_i$, где $i,n$ — натуральные числа. Прямая конечная разность порядка $n$ для такой функции равняется:

$\frac{{\mathrm{\Delta }}^n(x_i^n)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^n}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^k\cdot (i+n-k{)}^n=n!$

По определению производной, для функции вида $f(x)=x^n$ имеем производную порядка $n$: $f^{(n)}(x)=n!$. Таким образом, соблюдается равенство $\frac{d^n(x^n)}{d{x}^n}=\frac{{\mathrm{\Delta }}^n(x_i^n)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^n}=n!$

Литература

• Richardson, C. H. (1954): An Introduction to the Calculus of Finite Differences (New York: Van Nostrand, 1954) online copy
• Jordan, Charles (1939/1965). «Calculus of Finite Differences», Chelsea Publishing. On-line: 1

См. также

• Конечные разности
• Метод конечных разностей;
• Интерполяционные формулы Ньютона;
• Разделенная разность;
• Биномиальные преобразования.