Искривлённое произведение

Искривлённое произведение римановых, а также псевдоримановых многообразий — обобщение прямого произведения. 

Определение

Пусть $B=(B,g)$ и $F=(F,h)$ — два псевдоримановых многообразия и $f:B\to ℝ$ гладкая положительная функция. Тогда произведение $B\times F$ с метрикой $g\oplus (f^2\cdot h)$ называется искривлённым произведением $B=(B,g)$ и $F=(F,h)$ по функции $f$. Точнее, касательное пространство ${\mathrm{T}}_{(b,x)}(B\times F)$ можно идентифицировать с произведением касательных пространств ${\mathrm{T}}_{b}B\times {\mathrm{T}}_{x}F$ и значит на нём можно рассмотреть прямую сумму квадратичных форм $g\oplus (f^2\cdot h)$, она и определяется как метрический тензор в точке$(b,x)$.

Искривлённое произведение $(B\times F,g\oplus (f^2\cdot h))$ обычно обозначается $F{\times }_{f}B$.

Функция $f$ также называется функцией искривления. Пространство $B=(B,g)$ называется базой, а пространство $F=(F,h)$ — слоем искривлённого произведения $F{\times }_{f}B$.

Свойства

• Каждый слой $b\times F\subset B\times F$ в $F{\times }_{f}B$ изометричен $f(b)\cdot F=(F,f^2(b)\cdot h)$.
• Каждый уровень $B\times x\subset B\times F$ глобально изометричен базе $B=(B,g)$.
• Расстояния между точками $(b_1,x_1),(b_2,x_2)\in F{\times }_{f}B$ полностью определяются по базе $B=(B,g)$, двум точкам $b_1,b_2\in B$, функцией $f:B\to ℝ$ и расстоянием между $x_1$ и $x_2$ в слое $F$.

Примеры

• Искривлённое произведение $ℝ{\times }_{\exp }ℝ$ изометрично плоскости Лобачевского.
• Поверхность вращения всегда изометрична искривлённому произведению ${𝕊}^1{\times }_f𝕀$ для некоторой функции искривления и вещественного интервала $𝕀$.
• Многие решения уравнения Эйнштейна, можно представить как искривлённые произведения, например,
  • Метрика Шварцшильда,
  • Вселенная Фридмана.

Вариации и обобщения

• Искривлённое произведение естественным образом обобщается на произведения метрических пространств с внутренней метрикой.