Кэлерово многообразие

Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.

Названы в честь немецкого математика Эриха Келера.

Определения

Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие $(K,\omega )$ с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой Шаблон:Iw с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.

Связь между определениями

Пусть $h$ — эрмитова форма, $\omega$ — симплектическая форма и $J$ — почти комплексная структура. Согласуемость $\omega$ и $J$ означает, что форма:

$g(u,v)=\omega (u,Jv)$

является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:

$h=g-i\omega .$

Кэлеров потенциал

На комплексном многообразии $K$ каждая Шаблон:Iw $\rho \in C^{\mathrm{\infty }}(K;ℝ)$ порождает кэлерову форму

$\omega =\frac{i}{2}\partial \overline{\partial }\rho .$

При этом функция $\rho$ называется кэлеровым потенциалом формы $\omega$.

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки $p$ кэлерова многообразия $(K,\omega )$ существует окрестность $U\ni p$ и функция $\rho \in C^{\mathrm{\infty }}(U,ℝ)$ такая, что

$\omega {|}_U=i\partial \overline{\partial }\rho$.

При этом $\rho$ называется локальным Кэлеровым потенциалом формы $\omega$.

Примеры

• Комплексное евклидово пространство ${ℂ}^n$ со стандартной эрмитовой формой.
• Каждая риманова метрика на ориентируемой поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость $\omega$ тривиальна в вещественной размерности два.
• Комплексное проективное пространство $ℂ{\mathrm{P}}^n$ с метрикой Фубини — Штуди.
• Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии.
  • В частности, любое Шаблон:Iw и любое проективное алгебраическое многообразие.
  • По теореме Кодайры о вложении кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая, вкладывается в проективное пространство.
• K3-поверхности
• Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу.

См. также

• Почти комплексного многообразия

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга