Теорема Косниты

Теорема Косниты — это свойство некоторых окружностей, связанных с произвольным треугольником.

Пусть $A B C$ — произвольный треугольник, $O$ — центр его описанной окружности, а $O_{a}, O_{b}, O_{c}$ — центры описанных окружностей трёх треугольников $O B C$ , $O C A$ и $O A B$ соответственно. Теорема утверждает, что три прямых $A O_{a}$ , $B O_{b}$ и $C O_{c}$ пересекаются в одной точке ^[1]. Этот факт был установлен Румынским математиком Цезарем Коснита (Cezar Coşniţă, 1910-1962) ^[2].

Точка, в которой прямые пересекаются, известна как точка Косниты треугольника (название дал Ригби в 1997). Точка является изогонально сопряжённой центру девяти точек Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Точка имеет обозначение $X (54)$ среди замечательных точек треугольника в списке Кимберлинга^[3]. Теорема является частным случаем теоремы Дао о 6 центрах описанных окружностей для вписанного шестиугольникаШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn^[4].

Свойства

Треугольник T с вершинами A, B и C; O — центр описанной окружности (красная).
A*, B* и C* — точки, симметричные точкам A, B и C относительно противоположной стороны.
M — точка пересечения окружностей Массельмана.
Зелёная окружность — окружность девяти точек, N — её центр.
K — точка Коснита.

Точка Косниты K тесно связана с точкой M Массельмана (с точкой пересечения окружностей Массельмана). См. рис. и теорему Массельмана. Точка Массельмана $M$ является точкой инверсии точки Косниты относительно окружности, описанной вокруг треугольника $T$ .

Шаблон:Примечания