Теорема Массельмана

В евклидовой геометрии теорема Массельмана — это свойство некоторых окружностей, определённых для произвольного треугольника.

Формулировка теоремы

Треугольник T с вершинами A, B и C; O — центр описанной окружности (красная).
A*, B* и C* — точки, симметричные точкам A, B и C относительно противоположной стороны.
M — точка пересечения окружностей Массельмана.
Зелёная окружность — окружность девяти точек, N — её центр.
K — точка Косниты.

Пусть дан треугольник $T$ с вершинами $A$, $B$ и $C$. Пусть $A^{\ast }$, $B^{\ast }$ и $C^{\ast }$ — вершины треугольника отражений $T^{\ast }$, получаемого зеркальным отражением каждой вершины $T$ относительно противоположной стороны. Пусть $O$ — центр описанной окружности $T$. Рассмотрим 3 окружности $S_A$, $S_B$ и $S_C$, проходящие через точки $AO{A}^{\ast }$, $BO{B}^{\ast }$ и $CO{C}^{\ast }$ соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке $M$, которая является инверсией относительно описанной вокруг $T$ окружности точки Косниты, которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника $T$.

Общая точка $M$ является точкой Гилберта треугольника $T$, которая перечислена как $X_{1157}$ в Энциклопедии центров треугольника.

История

Теорема предложена как задача Массельманом (J. R. Musselman) и Горматигом (René Goormaghtigh) в 1939 году, и доказательство представлено ими в 1941 году. Обобщение этого результата сформулировано и доказано Горматигом.

Обобщение Горматига

Обобщение теоремы Массельмана Горматигом не упоминает окружности явно.

Как и прежде, пусть $A$, $B$ и $C$ — вершины треугольника $T$, и $O$ — центр описанной окружности. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $T$, то есть пересечение трёх высот. Пусть $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ — три точки на отрезках $OA$, $OB$ и $OC$, такие что $O{A}^{\prime }/OA=O{B}^{\prime }/OB=O{C}^{\prime }/OC=t$. Рассмотрим 3 прямые $L_A$, $L_B$ и $L_C$, перпендикулярные $OA$, $OB$ и $OC$ через точки $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ соответственно. Пусть $P_A$, $P_B$ и $P_C$ — точки пересечения перпендикуляров с прямыми $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно.

Нойберг (J. Neuberg) в 1884 году заметил, что три точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ лежат на одной прямой $R$. Пусть $N$ — проекция центра описанной окружности $O$ на прямую $R$, а $N^{\prime }$ — точка на $ON$, такая что $O{N}^{\prime }/ON=t$. Горматиг доказал, что $N^{\prime }$ является инверсией относительно описанной вокруг треугольника $T$ окружности изогонального сопряжения точки $Q$ на прямой Эйлера $OH$, такой что $QH/QO=2t$.