Пространство модулей

Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство (например, схема, Шаблон:Нп5 или Шаблон:Нп5 пространство), точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов $A$, факторизованному по некоторому отношению эквивалентности $R$. Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов (например, гладких алгебраических кривых рода $g$, рассматриваемых с точностью до изоморфизма), может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

История

Теория модулей возникла при изучении эллиптических функций: существует семейство различных полей эллиптических функций (или их моделей — неизоморфных эллиптических кривых над $ℂ$), параметризованное комплексными числами. Бернхард Риман, которому принадлежит и сам термин «модули», показал, что компактные римановы поверхности рода $g⩾2$ зависят от $3g-3$ комплексных параметров — модулей.

Определения

Пусть $S$ — некоторая схема (комплексное или алгебраическое пространство). Семейство объектов, параметризованное схемой $S$ (или, как часто говорят, над $S$ или с базой $S$) — это набор объектов $\{X_s|s\in S,X_s\in A\}$, снабжённый дополнительной структурой, согласованной со структурой базы $S$. Эта структура в каждом конкретном случае задаётся явно. Функтор модулей (или функтор семейств) — это контравариантный функтор $ℳ$ из категории схем (или пространств) в категорию множеств, определяемый следующим образом: $ℳ(S)$ — множество классов изоморфных семейств над $S$, а морфизму $f:S\to T$ сопоставляется отображение $f^{*}:ℳ(T)\to ℳ(S)$ посредством взятия индуцированного семейства.

Если функтор модулей $ℳ$ представим с помощью схемы (или пространства) $M$, то $M$ называется тонким пространством модулей для функтора $ℳ$. В этом случае существует универсальное семейство $U$ с базой $M$, то есть произвольное семейство $T$ с базой $S$ индуцируется семейством $U$ при помощи единственного отображения $f:S\to M$.

Функтор модулей представим в очень немногих случаях, в связи с чем было введено также понятие грубого пространства модулей. Схема $M$ называется грубым пространством модулей для функтора $ℳ$. если существует естественное преобразование $\phi :ℳ\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot ,M)$, такое, что

1. если $K$ — алгебраически замкнутое поле, то отображение $\phi (\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K):ℳ(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K,M)$ биективно;
2. для произвольной схемы $M^{\prime }$ и естественного преобразования ${\phi }^{\prime }:ℳ\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot ,M^{\prime })$ существует единственный морфизм $\pi :M\to M^{\prime }$, такой, что для ассоциированного естественного преобразования $\mathrm{\Pi }:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot ,M)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot ,M^{\prime })$ выполняется $\phi =\mathrm{\Pi }\circ {\phi }^{\prime }$.

Интуитивно, замкнутые точки грубой схемы модулей соответствуют элементам $A/R$, а геометрия этой схемы отражает то, каким образом объекты класса $A$ могут варьироваться в семействах. С другой стороны, над грубой схемой модулей может уже не существовать универсального семейства.

Примеры

Кривые

Пусть $A/R={𝐌}_g$ (соответственно, $\overline{{𝐌}_g}$) — множество классов изоморфных проективных гладких связных кривых (соответственно, Шаблон:Нп5) рода $g⩾2$ над алгебраически замкнутым полем $K$. Семейство над $S$ — это гладкий (плоский) собственный морфизм $f:X\to S$, слоями которого являются гладкие (стабильные) кривые рода $g$. Тогда существует грубая схема модулей $M_g$ (соответственно, $\overline{M_g}$), являющаяся квазипроективным (проективным) неприводимым и нормальным многообразием над $K$.

Векторные расслоения

Пусть $A/R$ — множество классов изоморфных векторных расслоений ранга $n$ на алгебраическом многообразии $X$. Семейство над $S$ — это векторное расслоение на $X\times S$. В случае, когда $X$ — это неособая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем, существует нормальное проективное многообразие $\overline{M_{d,n}}$, являющееся грубым пространством модулей полустабильных векторных расслоений ранга $n$ и степени $d$ на $X$. Стабильные векторные расслоения параметризуются открытым гладким подмногообразием $M_{d,n}\subset \overline{M_{d,n}}$. Если $d$ и $n$ взаимно просты, $M_{d,n}$ совпадает с $\overline{M_{d,n}}$ и является тонким пространством модулей.

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга