Группа Титса

Группа Титса J₂, названная именем Жака Титса, — это конечная простая группа порядка

17 971 200 = 2¹¹ • 3³ • 5² • 13 ≈ 2Шаблон:E.

Иногда группа считается 27-й спорадической группой.

История и свойства

Группы Ри ²F₄(2²ⁿ⁺¹) построил Римхак РиШаблон:Sfn. Он показал, что эти группы являются простыми, если n ≥ 1. Первый член этой последовательности ²F₄(2) не является простым. Группу исследовал Жак ТитсШаблон:Sfn и показал, что она почти проста, её коммутант ²F₄(2)′ с индексом 2 является другой простой группой, которая носит теперь имя «группа Титса». Группа ²F₄(2) является группой лиева типа и имеет пару (B, N), но сама группа Титса пары (B, N) не имеет. Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, её иногда считают 27-й спорадической группой

Мультипликатор Шура группы Титса тривиален, её Шаблон:Не переведено 5 имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов — группа ²F₄(2).

Группа Титса является максимальной подгруппой Шаблон:Не переведено 5. Группа ²F₄(2) является также максимальной подгруппой группы Рудвалиса как точечный стабилизатор перестановочное действие ранга 3 на 4060 = 1 + 1755 + 2304 точках.

Группа Титса является одной из простых N-групп и она была пропущена Джоном Г. Томпсоном в первом сообщении о классификации простых N-групп, поскольку к тому моменту группа не была открыта.

Группа является также одной из тонких групп.

Группу Титса описывали различными способами Паррот в 1972/73 годахШаблон:SfnШаблон:Sfn и СтротШаблон:Sfn.

Представления

Группу Титса можно определить в терминах генераторов и отношений

$a^2=b^3=(ab{)}^{13}=[a,b{]}^5=[a,bab{]}^4=(ababababa{b}^{-1}{)}^6=1,$

где [a, b] — коммутатор. Он имеет Шаблон:Не переведено 5, который получается путём перевода (a, b) в (a, bbabababababbababababa).

Максимальные подгруппы

УилсонШаблон:Sfn и ЧакерианШаблон:Sfn независимо нашли 8 классов максимальных подгрупп группы Титса:

L₃(3):2 Два класса, связанные внешним автоморфизмом. Эти подгруппы оставляют неподвижными точки ранга 4 перестановочных представлений.

2.[2⁸].5.4 Централизатор инволюции.

L₂(25)

2².[2⁸].S₃

A₆.2² (Два класса, связанные внешним автоморфизмом)

5²:4A₄

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• ATLAS of Group Representations — The Tits Group Шаблон:Wayback