Иерархия алефов

Алеф-ноль, наименьшее бесконечное кардинальное число

Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности (количества элементов) бесконечных вполне упорядоченных множествШаблон:Sfn. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф (ℵ) еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.

Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная»), которая обозначается символом ${\mathrm{\aleph }}_0$ (читается: «алеф-ноль»), далее следует ${\mathrm{\aleph }}_1$ (алеф-один) и так далее.

Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы).

Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса ($\mathrm{\infty }$), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание ($-\mathrm{\infty }$ означает неограниченное убывание) функции, либо особую («Шаблон:D-») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.

Общее определение и свойства

Как сказано выше, символ ${\mathrm{\aleph }}_0$ обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть $\alpha$ — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал ${\omega }_{\alpha }.$ Тогда символ ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ обозначает мощность множества всех порядковых чисел, меньших ${\omega }_{\alpha }.$

Некоторые свойстваШаблон:Sfn.

• Все алефы сравнимы между собой, из двух алефов больше тот, у которого больше индекс.
• Каждое кардинальное число совпадает с одним из алефов (для доказательства необходима аксиома выбора).
• Предположение: $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$ известно как континуум-гипотеза.
• Множество всех алефов, меньших заданного ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha },$ вполне упорядочено, и его порядковый тип равен $\alpha .$
• Кардинальное число ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ непосредственно следует за ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha },$ никаких промежуточных мощностей между ними нет.
• Наибольшего элемента среди алефов нет. Иерархия алефов не образует множества в смысле аксиоматики Цермело-Френкеля.

Примеры

Алеф-ноль

${\mathrm{\aleph }}_0$ (алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел $\mathbb{N},$ первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой $\omega$ (омега), или ${\omega }_0;$ оно имеет мощность ${\mathrm{\aleph }}_0.$

Множество имеет мощность ${\mathrm{\aleph }}_0$ тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$. Примеры множеств мощности ${\mathrm{\aleph }}_0$:

• множество всех квадратных чисел, множество всех кубических чисел;
• множество всех чётных чисел, множество всех нечётных чисел;
• множество всех простых чисел, множество всех составных чисел;
• множество всех целых чисел;
• множество всех рациональных чисел;
• совокупность всех геометрических величин, которые можно построить циркулем и линейкой;
• множество всех алгебраических чисел,
• множество всех вычислимых чисел,
• множество всех Шаблон:Нп5;
• множество всех двоичных строк конечной длины;
• множество всех конечных подмножеств заданного счётного множества.

Бесконечные ординалы:

$\omega ,\omega +1,\omega \cdot 2,{\omega }^2,{\omega }^{\omega }$

все относятся к счётным множествам. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности ${\mathrm{\aleph }}_0$.

Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то ${\mathrm{\aleph }}_0$ меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.

Алеф-один

${\mathrm{\aleph }}_1$ (алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается ${\omega }_1$ (иногда ${\mathrm{\Omega }}_1$). Ординал ${\omega }_1$ больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, ${\mathrm{\aleph }}_1$ не совпадает с ${\mathrm{\aleph }}_0$ и больше его.

Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между ${\mathrm{\aleph }}_0$ и ${\mathrm{\aleph }}_1$ нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества ${\omega }_1:$ любое счётное подмножество ${\omega }_1$ имеет верхнюю границу в ${\omega }_1$ (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в ${\mathrm{\aleph }}_0$: каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.

Если принять континуум-гипотезу, то с аксиомой выбора ${\mathrm{\aleph }}_1$ совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то с аксиомой выбора континуум соответствует одному из более далёких алефов. Без аксиомы выбора континуум может как быть алефом, так и нет.

Арифметика алефов

Шаблон:Main Георг Кантор определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения аксиомы выбора. ПримерыШаблон:Sfn:

• Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф: ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$.
• Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф: $({\mathrm{\aleph }}_{\alpha }{)}^n={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$.
• Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них: ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\beta }={\mathrm{\aleph }}_{\beta },{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\beta }={\mathrm{\aleph }}_{\beta },\beta >\alpha$.

См. также

• Бет-число

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld