Калибровочная дифференциальная форма

Калибровочная форма — дифференциальная форма на римановом многообразии. Инструмент в теории минимальных поверхностей позволяющий доказать минимальность площади.

Определение

Замкнутая $k$ -форма $ϕ$ на римановом многообразии $(M, g)$ назыетеся калибровочной если для любой ортонормированной системы из $k$ векторов $e_{1}, \dots, e_{k}$ выполняется неравенство

ϕ (e_{1} \land \dots \land e_{k}) \leq 1 .

При этом если для $k$ -мерного подмногообразие $L$ в $(M, g)$ достигается равенство

ϕ (e_{1} \land \dots \land e_{k}) = 1 .

для ортонормированного базиса в каждом касательном пространстве к $L$ , то говорят, что $L$ калибруется $ϕ$ .

Свойства

Если $k$ -мерного подмногообразие $L$ в $(M, g)$ калибруется формой $ϕ$ , то $L$ минимизирует площадь среди всех ему гомологичных подмногообразий. Действительно, предположим $L$ гомологично $L^{'}$ , тогда

{v o l}_{k} (L) = \int_{L} φ = \int_{L^{'}} φ \leq {v o l}_{k} (L^{'}) .

где первое равенство держится, потому что $L$ калибруется $ϕ$ , второе равенство — по теореме теореме Стокса, а последнее неравенство справедливо, поскольку $ϕ$ — калибровочная форма.

Примеры

На кэлеровом многообразии, кэлерова форма является калибровочной; она калибрует комплексные подмногообразия.
На многообразии Калаби — Яу, вещественная часть голоморфной формы объёма (соответственно нормализованная) является калибровочной формой; она калибрует специальные Лагранжевы подмногообразия.
На G2-многообразии, 3-форма и ей двойственная 4-форма являются калибровочными.
На $S p i n (7)$ -многообразиях, 4-форма Кэли, является калибровочной.

Ссылки

Калибровочная дифференциальная форма

Содержание

Определение

Свойства

Примеры

Ссылки

Навигация

Калибровочная дифференциальная форма

Определение

Свойства

Примеры

Ссылки

Навигация

Поиск